Вынужденные колебания

Модель и уравнение движения

• Гармонически вынуждаемая система «масса–демпфер–пружина»: $m\,\ddot{x}+b\,\dot{x}+k\,x=F_0\cos(\Omega t)$ где $m$ — масса, $b$ — вязкое сопротивление, $k$ — жёсткость, $F_0$ — амплитуда внешней силы, $\Omega$ — круговая частота возбуждения.

• Собственная (ненагруженная) частота и безразмерное затухание: $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \zeta=\frac{b}{2\sqrt{mk}},\qquad r=\frac{\Omega}{\omega_0}$

Общее решение: переходная и установившаяся части

• Решение представимо как сумма: $x(t)=x_{\text{tr}}(t)+x_{\text{ss}}(t)$ Переходная часть $x_{\text{tr}}(t)$ затухает (при $\zeta>0$), установившаяся $x_{\text{ss}}(t)$ имеет частоту $\Omega$ и постоянные амплитуду и фазу.

Амплитуда и фаза установившегося ответа

• Комплексная амплитуда: $X(\Omega)=\frac{F_0}{k-m\Omega^2+i\,b\Omega}$

• Амплитуда и фазовый сдвиг: $A(\Omega)=\frac{F_0}{\sqrt{\big(k-m\Omega^2\big)^2+\big(b\Omega\big)^2}}$ $\tan\delta(\Omega)=\frac{b\Omega}{k-m\Omega^2}$ При $\Omega\ll\omega_0$: $\delta\approx0$ (почти «в фазе»), при $\Omega\gg\omega_0$: $\delta\to\pi$ (почти «в противофазе»).

• Удобная нормировка к статическому прогибу $x_{\text{st}}=F_0/k$ (динамический коэффициент): $M(r,\zeta)=\frac{A}{F_0/k}=\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}$

Резонанс и максимум амплитуды

• Механический резонанс — резкое увеличение $A(\Omega)$ при частоте, близкой к собственной.

• Частота максимума смещения при $0<\zeta<1/\sqrt{2}$: $\Omega_{\max}=\omega_0\sqrt{1-2\zeta^2}$ (при большем $\zeta$ максимум сглажен и $A(r)$ монотонна).

• Значение амплитуды в точке $\Omega=\omega_0$: $A(\omega_0)=\frac{F_0}{b\,\omega_0}=\frac{F_0}{2\zeta\,k}$ (чем меньше $b$ или $\zeta$, тем выше пик).

• Полуширина «по мощности» (точки $M=1/\sqrt{2}$ от пика) и добротность: $\Delta\Omega\approx\frac{b}{m}=\frac{\omega_0}{Q},\qquad Q=\frac{m\omega_0}{b}\approx\frac{1}{2\zeta}$

Мощность и энергия в установившемся режиме

• Мгновенная мощность источника: $P(t)=F(t)\,\dot{x}(t)$.
• Средняя за период мощность (идёт целиком в потери вязкости): $\overline{P}=\frac{1}{2}\,b\,\Omega^2\,A^2$ На резонансе рост $A$ вызывает максимум $\overline{P}$.

Вынужденные колебания при «подвижном основании» (изоляторы)

• Если основание движется как $y(t)=Y_0\cos(\Omega t)$, то передача колебаний на массу характеризуется коэффициентом передаточности: $T(r,\zeta)=\sqrt{\frac{1+(2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}$
• Режим изоляции вибраций: $T<1$ выполняется примерно при $r=\frac{\Omega}{\omega_0}>\sqrt{2}$ (добавление умеренного затухания сглаживает пик вблизи $r\approx1$).

Как избегают и как используют резонанс в технике

Избегают (борются с опасным резонансом):

• Детюнинг: изменить $k$ или $m$, чтобы $\omega_0$ ушла от частоты возбуждения.
• Демпфирование: увеличить $b$ (или добавить демпферы), чтобы снизить пик $A(\omega_0)$ и мощность.
• Развязка/изоляция: подобрать $\omega_0$ так, чтобы рабочая $\Omega$ была в области $r>\sqrt{2}$.
• Балансировка роторов, строб-контроль, плавные разгоны с быстрым проходом через резонанс.

Используют (полезный резонанс):

• Точные частотозадающие элементы: камертоны, кварцевые резонаторы, MEMS-гироскопы.
• Сенсоры и фильтры: узкополосные механические фильтры, сейсмометры.
• Энергосбор: вибрационные энергохарвестеры (максимум энергии при $\Omega\approx\omega_0$).
• Колебательные машины: грохоты, виброприводы — работа около резонанса снижает требуемую силу.

Типичные ошибки

• Путать $\omega_0$ и $\Omega$; использовать $\Omega=\omega_0$ вместо критерия $\Omega_{\max}=\omega_0\sqrt{1-2\zeta^2}$.
• Забывать, что рост $b$ снижает пик амплитуды, но расширяет полосу.
• Неверно трактовать фазу: при высоких частотах ответ почти в противофазе с возбуждением.
• Игнорировать различие задач: силовое возбуждение vs возбуждение основания (разные формулы для $M$ и $T$).

Ключевые формулы (сводка)

$m\,\ddot{x}+b\,\dot{x}+k\,x=F_0\cos(\Omega t)$

$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad \zeta=\frac{b}{2\sqrt{mk}},\quad r=\frac{\Omega}{\omega_0}$

$A(\Omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(b\Omega)^2}}$

$\tan\delta(\Omega)=\frac{b\Omega}{k-m\Omega^2}$

$M(r,\zeta)=\frac{A}{F_0/k}=\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}$

$\Omega_{\max}=\omega_0\sqrt{1-2\zeta^2}\quad(0<\zeta<1/\sqrt{2})$

$A(\omega_0)=\frac{F_0}{b\,\omega_0}=\frac{F_0}{2\zeta\,k}$

$Q=\frac{m\omega_0}{b}\approx\frac{1}{2\zeta},\qquad \Delta\Omega\approx\frac{\omega_0}{Q}$

$\overline{P}=\frac{1}{2}\,b\,\Omega^2\,A^2$

$T(r,\zeta)=\sqrt{\frac{1+(2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},\qquad T<1\ \text{при}\ r>\sqrt{2}$