Превращение энергии при колебательном движении

Идея

В колебательной системе (без потерь) полная механическая энергия сохраняется и непрерывно перетекает между потенциальной и кинетической формами. В крайних положениях скорость равна нулю и вся энергия — потенциальная; в положении равновесия смещение ноль и вся энергия — кинетическая.

Пружинный осциллятор (гармоническое колебание)

Модель: масса $m$ на пружине жёсткости $k$ (трением пренебречь). Уравнение: $m\,\ddot{x}+k\,x=0$

Решение (координата): $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)$

Где $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}$

Кинетическая и потенциальная энергии: $K(t)=\frac{m v^2}{2}$ $U(t)=\frac{k x^2}{2}$ Полная энергия: $E=K+U=\frac{kA^2}{2}=\text{const}$

Временные зависимости $K(t)$ и $U(t)$

С учётом $v(t)=-\,\omega A\sin(\omega t+\varphi_0)$: $K(t)=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\sin^2(\omega t+\varphi_0)$ $U(t)=\frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t+\varphi_0)=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\cos^2(\omega t+\varphi_0)$

Максимумы: $K_{\max}=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2,\qquad U_{\max}=\frac{1}{2}kA^2$

Фазовые соотношения: $K$ и $U$ сдвинуты по фазе на $\pi/2$; в каждом моменте $K+U=E$.

Средние по периоду

Средние за период величины: $\langle K\rangle=\langle U\rangle=\frac{E}{2}$ Это частный случай теоремы о среднем (вирила) для гармонического осциллятора.

Связь между $v$ и $x$ без явного времени: $v^2=\omega^2(A^2-x^2)$

Математический маятник (малые углы)

Точное уравнение: $\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0$ При малых углах $\sin\theta\approx\theta$: $\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\,\theta=0,\qquad \omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$

Энергия (с нулём потенциальной на уровне равновесия): $U(\theta)\approx \frac{1}{2}m g l\,\theta^2$ $K=\frac{1}{2}m l^2 \dot{\theta}^2,\qquad E=\frac{1}{2}m g l\,\theta_0^2$ Здесь энергия также периодически перетекает между $U$ и $K$, а $E$ остаётся постоянной (если потерь нет).

Затухающие колебания (потери энергии)

При вязком сопротивлении $F_{\text{fr}}=-b\,\dot{x}$: $m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=0$ Амплитуда и энергия убывают экспоненциально: $A(t)=A_0\,e^{-\zeta \omega t},\qquad \zeta=\frac{b}{2m\omega}$ $E(t)=E_0\,e^{-2\zeta \omega t}$ Мгновенная скорость потери энергии: $\frac{dE}{dt}=F_{\text{fr}}\,v=-\,b\,v^2\le 0$ Коэффициент добротности: $Q=\frac{1}{2\zeta}=\frac{m\omega}{b}$ Относительная потеря энергии за цикл $\Delta E/E\approx \frac{2\pi}{Q}$ (при малом затухании).

Вынужденные колебания и резонанс (энергетика)

При внешней силе $F(t)=F_0\cos(\Omega t)$: $m\ddot{x}+b\dot{x}+k x=F_0\cos(\Omega t)$ В установившемся режиме средняя подводимая мощность равна средней рассеиваемой: $\overline{P}=\frac{1}{T}\int_0^T F(t)\,v(t)\,dt=\frac{1}{2}\,b\,\Omega^2 A^2$ Амплитуда и запасённая энергия максимальны вблизи резонансной частоты (для малого затухания $\Omega\approx\omega$), при этом $E\propto A^2$.

Практические выводы

• У идеальной гармоники $E=\frac{kA^2}{2}$: амплитуда полностью задаёт запасённую энергию.
• В затухающей системе энергия убывает вдвое быстрее амплитуды по показателю: $E\sim e^{-2\