Период, частота пружинного и математического маятников

Период и частота пружинного и математического маятников

Пружинный маятник (масса на пружине)

• Модель: материальная точка массы $m$ на пружине жёсткости $k$, трение пренебрежимо мало.
• Уравнение движения (вдоль оси равновесия): $m\,\ddot{x}+k\,x=0$
• Решение гармоническое; циклическая частота, период и частота: $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$
• Вертикальная ориентация: смещение равновесия на величину $mg/k$ не влияет на $T$ (малые колебания вокруг нового положения).
• Эквивалентная жёсткость нескольких пружин: $k_{\mathrm{par}}=k_1+k_2+\dots$ $\frac{1}{k_{\mathrm{ser}}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\dots$ Тогда $T=2\pi\sqrt{m/k_{\mathrm{eq}}}$.
• Масса пружины: при равномерном растяжении можно учесть $m_{\mathrm{eff}}\approx m+\frac{1}{3}m_s$, тогда $T=2\pi\sqrt{m_{\mathrm{eff}}/k}$.

Математический маятник (невесомая нить, точечная масса)

• Модель: груз массы $m$ на нитях длины $l$, колебания в вертикальной плоскости, малые углы.
• Точное уравнение: $\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0$
• При малых углах $\sin\theta\approx\theta$ получаем линейное уравнение: $\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\,\theta=0$
• Циклическая частота, период и частота малых колебаний: $\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$ $T_0=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$
• Зависимости: $T_0$ зависит от $l$ и $g$, не зависит от массы и малой амплитуды.
• Амплитудная поправка (большие углы, радианы, первая ненулевая): $T\approx T_0\left(1+\frac{\theta_0^2}{16}\right)$ (для ещё больших амплитуд добавляются высшие члены разложения).
• Изменение $g$: $T_0$ увеличивается при уменьшении $g$ (большие высоты, экватор).

Влияние малых потерь

• Слабо вязкое демпфирование уменьшает частоту: $\omega_d=\omega\sqrt{1-\zeta^2}$ где $\zeta=\frac{b}{2m\omega}$ (малое безразмерное затухание). Тогда $T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}>T$.
• Для учебных задач часто принимают $\zeta\approx0$.

Связь с энергией

• Пружинный маятник: полная энергия $E=\frac{kA^2}{2}$ постоянна (без потерь); период от $A$ не зависит.
• Математический маятник: при малых $\theta$ период от амплитуды не зависит; при больших — растёт по формуле выше.

Типичные ошибки

• Подстановка кириллицы в формулы; использовать только латиницу ($m,k,l,g,A,\omega,T,f$).
• Путать $f$ и $\omega$: всегда $\omega=2\pi f$.
• «Вертикальная пружина зависит от $g$» — неверно: зависит положение равновесия, а не период.

Ключевые формулы (сводка)

$m\,\ddot{x}+k\,x=0$

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

$\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0$

$\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$

$T_0=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

$f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

$T\approx T_0\left(1+\frac{\theta_0^2}{16}\right)$

$\omega_d=\omega\sqrt{1-\zeta^2}$