Колебательное движение

Что такое гармоническое колебание

• Гармоническое колебание — движение, при котором координата изменяется по закону синуса/косинуса.
• Стандартная запись: $x(t)=A\cos\!\big(\omega t+\varphi_0\big)$ где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\varphi_0$ — начальная фаза.

Основные характеристики

• Амплитуда: максимальное по модулю отклонение $A$.
• Период: $T=\frac{2\pi}{\omega}$
• Частота: $f=\frac{1}{T},\qquad \omega=2\pi f$
• Фаза: $\psi(t)=\omega t+\varphi_0$

Скорость и ускорение

• Скорость — первая производная: $v(t)=\frac{dx}{dt}=-\,\omega A\sin\!\big(\omega t+\varphi_0\big)$
• Ускорение — вторая производная: $a(t)=\frac{dv}{dt}=-\,\omega^2 A\cos\!\big(\omega t+\varphi_0\big)=-\,\omega^2 x(t)$
• Следствия по фазам:
• Между $x(t)$ и $v(t)$ сдвиг по фазе $\pi/2$.
• Знак $a(t)$ противоположен знаку $x(t)$: возвращающая сила.

Динамическая модель (линейный осциллятор)

• Масса на пружине: $m\,\ddot{x}+k\,x=0,\qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
• Малые колебания маятника: $\ddot{\theta}+\frac{g}{\ell}\,\theta=0,\qquad \omega=\sqrt{\frac{g}{\ell}}$ (для малых углов $\theta$; линейная аппроксимация)

Энергия колебаний (пружинный осциллятор)

• Полная энергия постоянна: $E=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{k x^{2}}{2}=\frac{kA^{2}}{2}$
• В процессе колебаний энергия «перетекает» между кинетической и потенциальной.

Геометрическая интерпретация

• Проекция равномерного кругового движения радиуса $A$ на ось даёт $x(t)$ гармонического вида.
• Фаза $\psi$ соответствует углу поворота радиус-вектора на «фазовой окружности».

Что должен показать график

• Классический график — $x(t)$: косинусоида с периодом $T$, амплитудой $A$.
• Дополнительно (по желанию) отдельными графиками: $v(t)$ (сдвинутый синус) и $a(t)$ (косинус, инвертированный и растянутый по амплитуде в $\omega^2$).

Частые ошибки

• Путать $T$ и $f$ или писать $T=2\pi f$ (правильно $T=1/f$ и $\omega=2\pi f$).
• Использовать кириллицу внутри формул — парсеры LaTeX падают (используйте только латиницу).
• Рисовать $v(t)$ и $a(t)$ на одной оси без нормировки: амплитуды разные ($\omega A$ и $\omega^2 A$).

Ключевые формулы (сводка)

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)$

$v(t)=-\,\omega A\sin(\omega t+\varphi_0)$

$a(t)=-\,\omega^2 A\cos(\omega t+\varphi_0)=-\,\omega^2 x(t)$

$T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{1}{T},\qquad \omega=2\pi f$

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\quad(\text{пружинный осциллятор}),\qquad \omega=\sqrt{\frac{g}{\ell}}\quad(\text{малые колебания маятника})$

$E=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{k x^{2}}{2}=\frac{kA^{2}}{2}$