Геометрическая оптика

Модель луча и область применимости

• Луч — идеализированная линия, вдоль которой распространяется энергия света.
• Геометрическая оптика справедлива при условии коротких волн: длина волны $\lambda$ существенно меньше характерного размера препятствий/апертур $a$: $\lambda \ll a.$ В этом пределе дифракцией можно пренебречь, и свет рассматривают как идущий по лучам.

Однородная среда и прямолинейность

• В однородной изотропной среде показатель преломления постоянен: $n=\text{const}$.
• Скорость света в среде: $v=\frac{c}{n},$ где $c$ — скорость света в вакууме.
• Принцип Ферма: свет выбирает путь с экстремальным (минимальным) оптическим путём $L_{\text{opt}}=\int n\,ds.$ При $n=\text{const}$ минимум достигается на прямой, поэтому лучи — прямые линии.

Оптическая длина пути и луч в плавно-неоднородной среде

• В плавно-неоднородной среде ($n=n(\mathbf{r})$) луч искривляется так, чтобы экстремизировать $L_{\text{opt}}$.
• Уравнение луча (эйлерово уравнение из принципа Ферма): $\frac{d}{ds}\big(n\,\hat{\mathbf{t}}\big)=\nabla n,$ где $s$ — длина дуги вдоль луча, $\hat{\mathbf{t}}$ — касательный единичный вектор. Для $n=\text{const}$ правая часть равна нулю и траектория — прямая.

Экспериментальные проявления прямолинейности

• Тень и полутень: от протяжённого источника образуются области полной тени и полутени с чёткими границами (если дифракцией пренебречь).
• Камера-обскура (пинхол): изображение строится подобием треугольников; линейное увеличение $m=\frac{b}{a},\qquad y' = y\,\frac{b}{a},$ где $a$ — расстояние от отверстия до объекта, $b$ — до экрана, $y$ — размер объекта, $y'$ — размер изображения.
• Визирование: определение направления на объект по прямой луча (коллимация).
• Лазерный луч в дымке визуализирует прямолинейный ход из-за рассеяния на частицах.

Ограничения и нарушения прямолинейности

• Дифракция (щели, края): становится заметной, когда $\lambda$ сравнима с апертурой.
• Рассеяние (туман, аэрозоли): «размывает» луч.
• Градиентный показатель преломления (атмосферная рефракция, миражи): лучи искривляются по закону из п. 3.

Энергетика и световые пучки (качественно)

• Для точечного изотропного источника без потерь освещённость убывает приблизительно как $1/r^2$ из-за геометрического расхождения пучка.
• Коллимация (сведение пучка в почти параллельный) снижает расходимость и сохраняет направление лучей.

Ключевые формулы (сводка)

$v=\frac{c}{n}$

$L_{\text{opt}}=\int n\,ds$

$\frac{d}{ds}\big(n\,\hat{\mathbf{t}}\big)=\nabla n\qquad(\text{для }n=\text{const}\Rightarrow\text{прямая})$

$m=\frac{b}{a},\qquad y'=y\,\frac{b}{a}$

$\lambda \ll a\quad(\text{граница применимости геометрической оптики})$