Магнитное взаимодействие

Магнитное взаимодействие и понятие магнитного поля

• Заряженные частицы и проводники с током взаимодействуют: на движущийся заряд и ток действует сила, зависящая от скорости и направления движения.
• Для описания вводят магнитное поле с векторной характеристикой — магнитной индукцией $\mathbf{B}$.
• Основной опыт: сила на заряд $q$, движущийся со скоростью $\mathbf{v}$ в магнитном поле: $\mathbf{F} = q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.$ Эта сила перпендикулярна и $\mathbf{v}$, и $\mathbf{B}$; работу не совершает (меняет направление, но не модуль скорости).

Определение и направление $\mathbf{B}$

• Определение по силе Лоренца: поле $\mathbf{B}$ таково, что на заряд действует $\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}$.
• Направление $\mathbf{B}$ определяют по правилу правой руки:
• Для силы Лоренца: если расположить правую руку так, что четыре пальца направлены по $\mathbf{v}$ (для положительного $q$), а ладонь «толкает» в сторону силы, тогда отогнутый большой палец показывает направление $\mathbf{B}$ (эквивалентно — для известной $\mathbf{B}$ большой палец по $\mathbf{v}$, четыре — по $\mathbf{B}$, тогда ладонь показывает $\mathbf{F}$).
• Для тока в прямом проводнике: большой палец правой руки по направлению тока $I$, остальные пальцы обхватывают провод — они укажут направление линий $\mathbf{B}$ (концентрические окружности).

Сила на ток и магнитный момент

• На прямолинейный участок проводника длиной $\mathbf{l}$ с током $I$ в однородном поле: $\mathbf{F} = I\,\mathbf{l}\times\mathbf{B},\qquad |\mathbf{F}|=I\,l\,B\,\sin\alpha.$ Обобщённо: $\,\mathbf{F}=I\!\int d\mathbf{l}\times\mathbf{B}$.
• На рамку с током действует механический момент: $\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B},\qquad \boldsymbol{\mu}=I\,S\,\mathbf{n},$ где $S$ — площадь рамки, $\mathbf{n}$ — единичная нормаль (по правилу буравчика). Модуль момента: $|\tau|=\mu B\sin\alpha$.

Модуль $\mathbf{B}$ для типовых токовых конфигураций

• Бесконечно длинный прямой проводник на расстоянии $r$: $B=\frac{\mu I}{2\pi r},\qquad \mu=\mu_0\mu_r.$
• Круговой виток радиуса $R$ в центре: $B=\frac{\mu I}{2R}.$ Для $N$ витков: $B=\frac{\mu N I}{2R}$.
• Длинный соленоид (внутри, вдали от краёв): $B=\mu\,n\,I,\qquad n=\frac{N}{L}.$
• Тороид ($r$ — радиус по срединной окружности): $B=\frac{\mu N I}{2\pi r}.$
• Две параллельные бесконечные нити с токами $I_1$ и $I_2$: сила на единицу длины $\frac{F}{L}=\frac{\mu\,I_1 I_2}{2\pi r}.$ Токи в одном направлении притягиваются, в противоположных — отталкиваются.

Источники поля: закон Био–Савара и закон Ампера

• Био–Савар–Лаплас (вклад элементарного тока $I\,d\mathbf{l}$ на точку наблюдения): $d\mathbf{B}=\frac{\mu}{4\pi}\,\frac{I\,d\mathbf{l}\times\mathbf{\hat{r}}}{r^{2}}.$
• Закон Ампера (квази-статический случай, без смещения): $\oint\limits_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu\,I_{\text{enc}}.$ В полной (максвелловской) форме: $\,\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0\big(I_{\text{enc}}+\varepsilon_0\,\frac{d\Phi_E}{dt}\big)$.

Магнитная проницаемость, единицы, связанная величина $\mathbf{H}$

• Магнитная индукция: $\mathbf{B}$, единица — тесла (T). $1\,\text{T}=1\,\text{N/(A·m)}$.
• Магнитная напряжённость: $\mathbf{H}$, связана как $\mathbf{B}=\mu\,\mathbf{H},\qquad \mu=\mu_0\mu_r.$ В вакууме $\,\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \text{H/m}$.
• В ферромагнетиках зависимость нелинейна; вводят петлю гистерезиса $B(H)$.

Линии магнитной индукции и магнитный поток

• Линии $\mathbf{B}$ замкнуты (нет «магнитных зарядов»): $\nabla\cdot\mathbf{B}=0.$
• Магнитный поток через поверхность $S$: $\Phi_B=\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.$ Из $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ следует $\displaystyle \oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0$ для любой замкнутой поверхности.
• Изменение $\Phi_B$ во времени связано с индукцией (закон Фарадея), но это тема следующего раздела.

Геометрия силовых линий и правила ориентирования

• Вокруг прямого тока линии $\mathbf{B}$ — концентрические окружности, ортогональны радиусу.
• Внутри длинного соленоида линии почти параллельны оси; вне — сильно ослаблены.
• Направление $\mathbf{B}$ удобно определять «правилом правой руки» или «правилом буравчика».

Типичные ошибки

• Подстановка кириллицы в формулы (некорректно); используйте латиницу: $I, r, R, n, N, \mu$ и т. п.
• Путаница между $\mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$: в вакууме $\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}$, в среде — $\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}$.
• Забывают, что сила Лоренца $\mathbf{F}\perp\mathbf{v}$ и $\mathbf{B}$, следовательно, не изменяет кинетическую энергию (без электрической составляющей).
• Применение формул для бесконечных/длинных систем к коротким катушкам без поправок на крайовые эффекты.

Ключевые формулы (сводка)

$\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B},\qquad \mathbf{F}=I\,\mathbf{l}\times\mathbf{B},\qquad \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B},\ \ \boldsymbol{\mu}=I S\,\mathbf{n}$

$$$$