Магнитное поле тока

Что создаёт магнитное поле

• Любой электрический ток (упорядоченное движение зарядов) создаёт магнитное поле с векторной характеристикой магнитной индукцией $\mathbf{B}$.
• Микроскопически вклад в поле рассчитывают по закону Био–Савара–Лапласа: $d\mathbf{B}=\frac{\mu}{4\pi}\,\frac{I\,d\mathbf{l}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2},$ где $\mu$ — магнитная проницаемость среды, $I\,d\mathbf{l}$ — элемент тока, $\hat{\mathbf{r}}$ — единичный вектор к точке наблюдения.

Направление поля тока

• Направление линий $\mathbf{B}$ задаёт правило правой руки: большой палец указывает направление тока $I$, а согнутые пальцы — направление линий $\mathbf{B}$ (концентрические окружности).
• Суммарное поле — векторная сумма полей от всех токов: $\displaystyle \mathbf{B}=\sum_k \mathbf{B}_k$.

Типовые конфигурации поля тока (модуль $B$)

• Длинный прямой проводник на расстоянии $r$: $B=\frac{\mu I}{2\pi r}.$
• Круговой виток радиуса $R$ в центре: $B=\frac{\mu I}{2R},\qquad \text{для }N\text{ витков: }B=\frac{\mu N I}{2R}.$
• Длинный соленоид (внутри, вдали от краёв), $n=N/L$: $B=\mu\,n\,I.$
• Тороид (по срединной окружности радиуса $r$): $B=\frac{\mu N I}{2\pi r}.$
• Внутри проводящего цилиндра (радиус $R$, равномерный ток $I$), на расстоянии $r<R$: $B=\frac{\mu I}{2\pi R^2}\,r.$ Вне цилиндра ($r\ge R$): $B=\dfrac{\mu I}{2\pi r}$.

Циркуляция и уравнение Ампера

• Интегральная форма для квазистатических токов: $\oint_C \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu\,I_{\text{enc}}.$
• Дифференциальная форма (стационарный случай): $\nabla\times\mathbf{B}=\mu\,\mathbf{J}.$
• Линии $\mathbf{B}$ замкнуты: $\nabla\cdot\mathbf{B}=0.$

Магнитная проницаемость, $\mathbf{H}$ и намагниченность

• В линейной изотропной среде связь $\mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$: $\mathbf{B}=\mu\,\mathbf{H},\qquad \mu=\mu_0\,\mu_r.$
• В вакууме: $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \text{H/m}.$
• Относительная проницаемость $\mu_r$ связана с магнитной восприимчивостью $\chi_m$: $\mu_r=1+\chi_m.$
• Через намагниченность $\mathbf{M}$: $\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M}),\qquad \text{для линейной среды: }\mathbf{M}=\chi_m\,\mathbf{H}\Rightarrow \mathbf{B}=\mu\,\mathbf{H}.$

Классы материалов (качественно)

• Диамагнетики: $\chi_m<0$ (очень мало по модулю), $\mu_r\lesssim1$.
• Парамагнетики: $\chi_m>0$ (мало), $\mu_r\gtrsim1$.
• Ферромагнетики: сильная нелинейность, большая $\mu_r$; гистерезис $B(H)$, насыщение.

Граничные условия (идеально плоская граница)

• Нормальная составляющая $\mathbf{B}$ непрерывна: $B_{2n}=B_{1n}.$
• Тангенциальная составляющая $\mathbf{H}$ испытывает скачок, равный поверхностной плотности тока $\mathbf{K}$: $(\mathbf{H}_2-\mathbf{H}_1)\times\mathbf{n}=\mathbf{K}.$

Энергия магнитного поля

• Плотность энергии в линейной среде: $u_B=\frac{B^2}{2\mu}=\frac{\mu\,H^2}{2}.$
• Поток через поверхность $S$: $\Phi_B=\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.$

Практические следствия

• Введение сердечника с $\mu_r\gg1$ в соленоид многократно увеличивает $B=\mu n I$.
• При моделировании катушек учитывают краевые эффекты (для коротких катушек $B$ меньше, чем по формуле для «длинного»).

Типичные ошибки

• Путать $\mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$ (в вакууме $\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}$, в среде — $\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}$).
• Игнорировать зависимость $\mu$ от $H$ и гистерезис в ферромагнетиках.
• Использовать формулы для «бесконечных» систем к коротким/конечным геометриям без поправок.