Закон Ампера

Сила Лоренца: определение и направление

• Сила Лоренца — сила, действующая на заряд, находящийся в электрическом и магнитном полях.

$\vec{F}=q\,\vec{E}+q\,\vec{v}\times\vec{B}$

• Чисто магнитная составляющая (при $\vec{E}=0$):

$\vec{F}_{B}=q\,\vec{v}\times\vec{B}$

• Модуль магнитной силы при угле $\alpha$ между $\vec{v}$ и $\vec{B}$:

$F_{B}=|q|\,v\,B\,\sin\alpha$

• Направление задаётся правилом векторного произведения (для положительного $q$): от $\vec{v}$ к $\vec{B}$ поворот правого винта даёт направление $\vec{F}_{B}$.

Работа силы Лоренца и энергия

• Мгновенная мощность:

$P=\vec{F}\cdot\vec{v}=q\,\vec{E}\cdot\vec{v}$

• Магнитная часть не совершает работы:

$\vec{F}_{B}\cdot\vec{v}=0$

Следствие: в чисто магнитном поле изменяется направление скорости, но не её модуль (кинетическая энергия заряда сохраняется).

Движение заряда в однородном магнитном поле

• При $\vec{v}\perp\vec{B}$ — равномерное движение по окружности (лоренцево «центростремительное» действие):

$r=\frac{m\,v}{|q|\,B}$

$\omega=\frac{|q|\,B}{m}$

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi\,m}{|q|\,B}$

• При общем случае $\vec{v}=\vec{v}_{\perp}+\vec{v}_{\parallel}$ — винтовая траектория с шагом

$p=v_{\parallel}\,T$

Закон Ампера (сила на проводник с током)

• Общая форма для силы на провод с током в магнитном поле:

$d\vec{F}=I\,d\vec{l}\times\vec{B}$

• Для прямого участка длиной $\vec{l}$ в однородном поле:

$\vec{F}=I\,\vec{l}\times\vec{B}$

• Модуль:

$F=I\,l\,B\,\sin\alpha$

Направление задаётся правилом для $\vec{l}\times\vec{B}$ (эквивалент «правила левой руки» для проводника).

Момент сил на рамку с током

• Магнитный момент плоской рамки:

$\vec{\mu}=I\,S\,\vec{n}$

• Крутящий момент и потенциальная энергия в поле:

$\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}$

$U=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}$

Равновесие при $\vec{\mu}\parallel\vec{B}$.

Взаимодействие параллельных токов (результат закона Ампера)

• Сила на единицу длины между двумя длинными параллельными проводами на расстоянии $r$:

$\frac{F}{L}=\frac{\mu\,I_{1}\,I_{2}}{2\pi\,r}$

Токи в одном направлении притягиваются, в противоположных — отталкиваются.

Связь «Лоренц → Ампер»

Микроскопически сила на провод — это сумма сил Лоренца на движущиеся носители заряда: при $I=n\,q\,A\,v_{d}$ и усреднении по объёму получается $d\vec{F}=I\,d\vec{l}\times\vec{B}$.

Единицы и константы (СИ)

• Индукция $B$ — тесла (T), $1\,\text{T}=1\,\text{N}/(\text{A}\cdot\text{m})$.
• Заряд $q$ — кулон (C), скорость $v$ — м/с, ток $I$ — ампер (A), длина $l$ — м.
• В вакууме $\mu=\mu_{0}$, где $\mu_{0}=4\pi\cdot10^{-7}\,\text{H/m}$.

Типичные ошибки

• Путать направление силы для отрицательного и положительного зарядов (у отрицательного направление $\vec{F}_{B}$ противоположно).
• Забывать, что чисто магнитная сила не меняет модуль скорости (работа ноль).
• Применять формулу $F=I\,l\,B\,\sin\alpha$ к неоднородному полю или изогнутым проводникам без интегрирования.
• Путать $r=\dfrac{m v}{|q| B}$ и $\omega=\dfrac{|q| B}{m}$ (радиус и циклическая частота).

Ключевые формулы (сводка)

$\vec{F}=q\,\vec{E}+q\,\vec{v}\times\vec{B}$

$F_{B}=|q|\,v\,B\,\sin\alpha$

$P=\vec{F}\cdot\vec{v}=q\,\vec{E}\cdot\vec{v},\quad \vec{F}_{B}\cdot\vec{v}=0$

$r=\frac{m\,v}{|q|\,B},\quad \omega=\frac{|q|\,B}{m},\quad T=\frac{2\pi\,m}{|q|\,B},\quad p=v_{\parallel}T$

$d\vec{F}=I\,d\vec{l}\times\vec{B},\quad \vec{F}=I\,\vec{l}\times\vec{B},\quad F=I\,l\,B\,\sin\alpha$

$\vec{\mu}=I\,S\,\vec{n},\quad \vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B},\quad U=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}$

$\frac{F}{L}=\frac{\mu\,I_{1}\,I_{2}}{2\pi\,r}$