Магнитное поле Земли

Что это и откуда берётся

• Магнитное поле Земли — векторное поле $\vec{B}$ планетарного масштаба, близкое к полю наклонённого диполя.
• Источник — геодинамо во внешнем жидком ядре: конвективные потоки проводящей расплавленной железоникелевой плазмы и вращение Земли создают токи, порождающие $\vec{B}$ (по законам электродинамики).
• Поле образует магнитосферу, отклоняющую заряженные частицы солнечного ветра.

Дипольная модель (идеализированно)

• Приближаем Землю центральным магнитным диполем с магнитным моментом $\vec{M}$.
• Поле диполя в точке на расстоянии $r$ от центра (вне источников): $\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi r^{3}}\,[\,3(\vec{M}\cdot\hat{r})\,\hat{r}-\vec{M}\,]$
• Если ось диполя принята за полярную, а $\theta$ — колатитуда (угол от оси диполя), модули: $B=\frac{\mu_0 M}{4\pi r^{3}}\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}$ $B_{\text{pole}}=2\,\frac{\mu_0 M}{4\pi r^{3}},\qquad B_{\text{equator}}=\frac{\mu_0 M}{4\pi r^{3}}$ (на полюсе модуль в 2 раза больше, чем на магнитном экваторе).

Элементы земного магнитного поля

• Деклинация $D$ — угол между направлением на географический север и горизонтальной проекцией $\vec{B}$ (восточное/западное отклонение).
• Инклинация $I$ (угол наклона, «дип») — угол между $\vec{B}$ и горизонтальной плоскостью: $I>0$ — вниз (в северном полушарии), $I<0$ — вверх (в южном).
• Компоненты:
• $B$ — полный модуль;
• $H$ — горизонтальная составляющая;
• $Z$ — вертикальная (положительна вниз);
• $X$ — северная, $Y$ — восточная.
• Связи: $B^{2}=H^{2}+Z^{2}$ $H=B\cos I,\qquad Z=B\sin I$ $X=H\cos D,\qquad Y=H\sin D$

Связь инклинации с «магнитной широтой»

• Для идеального диполя справедливо: $\tan I=2\,\tan\lambda$ где $\lambda$ — магнитная широта (угол от магнитного экватора; на нём $I=0$).

Линии $\vec{B}$ и полюса

• Линии магнитной индукции входят в Землю вблизи северного магнитного полюса и выходят у южного; они замкнуты.
• Термин «северный магнитный полюс» исторически соответствует области, куда указывает северный конец стрелки; по полюсам магнита это полюс южной полярности (притягивает «север» стрелки).

Вариации и масштабы

• Типичные значения на поверхности: $B\sim(25\text{–}65)\,\mu\text{T}$; $I$ от $0^{\circ}$ (магнитный экватор) до $\pm90^{\circ}$ (магнитные полюса).
• Поле нестационарно: суточные, магнитные бури, долгопериодная секулярная вариация (века). Бывают геомагнитные инверсии (смена полярности) на геологических шкалах.

Компас и навигация

• Компас указывает направление горизонтальной составляющей $H$ на магнитный север; для азимутов в картах учитывают деклинацию $D$ местности.
• Ошибки компаса: локальные магнитные аномалии, намагниченные объекты, токи.

Законодательные уравнения (вакуум у поверхности)

• Отсутствие «магнитных зарядов»: $\nabla\cdot\vec{B}=0$
• В квазистационарном приближении циркуляция связана с токами внутри Земли: $\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\,\vec{J}$ (внешне, в воздухе, $\vec{J}\approx 0$ и поле потенциально; внутри ядра $\vec{J}\neq0$).

Типичные ошибки

• Путать географические и магнитные полюса и азимуты; забывать про угол $D$.
• Неверно трактовать знак $I$ (по соглашению вниз — положительно).
• Использовать дипольные формулы без оговорок там, где важны недипольные аномалии.

Ключевые формулы (сводка)

$\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi r^{3}}\,[\,3(\vec{M}\cdot\hat{r})\,\hat{r}-\vec{M}\,]$

$B=\frac{\mu_{0} M}{4\pi r^{3}}\sqrt{1+3\cos^{2}\theta}$

$B_{\text{pole}}=2\,\frac{\mu_{0} M}{4\pi r^{3}}$

$B_{\text{equator}}=\frac{\mu_{0} M}{4\pi r^{3}}$

$B^{2}=H^{2}+Z^{2}$

$H=B\cos I,\quad Z=B\sin I$

$X=H\cos D,\quad Y=H\sin D$

$\tan I=2\,\tan\lambda$

$\nabla\cdot\vec{B}=0,\quad \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\,\vec{J}$