Потенциальная энергия. Кинетическая энергия. Закон сохранения энергии в механических процессах

(Все формулы — в СИ; векторы обозначаем стрелкой. Во всех формулах используем знак «·» как скалярное произведение.)

Определение (поступательное движение точки/тела): $K=\tfrac12\,m\,v^2.$
Теорема о работе и кинетической энергии (работа–энергия): $\Delta K = \sum A_i,$ где $\sum A_i$ — алгебраическая сумма работ всех действующих сил на рассматриваемом перемещении.

Полезные частные случаи

При действии постоянной по направлению силы $F_\tau$ вдоль перемещения $s$ : $\Delta K = \int F_\tau\,ds.$
Для системы частиц (или твёрдого тела) справедливо разложение Кёнига: $K = \tfrac12\,M\,V_{CM}^2 + K_{\text{отн}},$ где $M$ — суммарная масса, $V_{CM}$ — скорость центра масс, $K_{\text{отн}}$ — кинетическая энергия относительного движения в системе центра масс.

Консервативная сила — сила, работа которой между двумя точками не зависит от пути (а на замкнутом пути равна нулю).
Для таких сил можно ввести потенциальную энергию $U$ так, что $A_{1\to 2} = -\Delta U = -(U_2-U_1).$
Связь силы и потенциальной энергии:
в одномерном случае: $F_x=-\dfrac{dU}{dx}$ ;
в векторной форме: $\vec F=-\nabla U$ .

Стандартные примеры $U$

Однородное поле тяжести (у поверхности Земли): $U_g = m g h$ (нулевой уровень выбирается произвольно).
Ньютоновская гравитация точечных масс: $U = -\,\dfrac{G M m}{r}$ .
Пружина (закон Гука): $U_{\text{upr}}=\tfrac12\,k\,x^2$ (для смещения $x$ от положения равновесия).

Полная механическая энергия: $E_{\text{мех}} = K + U.$
Если на систему действуют только консервативные силы (или результирующая работа неконсервативных сил равна нулю), то $E_{\text{мех}}=\text{const}\quad\Longleftrightarrow\quad K_1+U_1 = K_2+U_2.$
При наличии неконсервативных сил (трение, сопротивление среды, внутренние необратимые потери): $\Delta E_{\text{мех}} = \sum A_{\text{неконс.}}\le 0,$ а полная энергия системы с учётом «не механических» форм (теплота и т.п.) сохраняется.

Работа силы трения скольжения на пути $s$ : $A_{tr}=-\mu_k N\,s$ (обычно $<0$ ).

Выберите нулевой уровень $U$ (для $m g h$ — любой; для $-GMm/r$ принято $U\to 0$ при $r\to\infty$ ).
Запишите $E_{\text{мех}}=K+U$ в начальном и конечном состояниях.
Если есть потери/подвод энергии, добавьте $\sum A_{\text{неконс.}}$ : $K_1+U_1 + \sum A_{\text{неконс.}} = K_2+U_2.$
Решите уравнение относительно искомых величин (скоростей, высот, деформаций).

Характерные примеры

Свободное падение без сопротивления: $m g h$ уменьшается, $K$ растёт так, что $K+U_g=\text{const}$ .
Движение по наклонной с трением: $m g(h_1-h_2)$ идёт на рост $K$ и на работу трения: $m g(h_1-h_2)=\Delta K+\mu_k N s$ .
Маятник/горка: в крайних точках $K=0$ , потому «точки поворота» находятся из $U_{\max}=E_{\text{мех}}$ .

График $U(x)$ : горизонтальная прямая $E=\text{const}$ задаёт доступные области движения, где $K=E-U(x)\ge 0$ .
Точки равновесия: $dU/dx=0$ .
Минимум $U$ ( $d^2U/dx^2>0$ ) — устойчивое равновесие (малые колебания).
Максимум $U$ ( $d^2U/dx^2<0$ ) — неустойчивое.
Вблизи минимума $U(x)\approx U_0+\tfrac12\,k_{\text{эфф}}(x-x_0)^2$ ⇒ гармонические колебания с $k_{\text{эфф}}=d^2U/dx^2|_{x_0}$ .

Суммарная мощность всех сил равна темпу изменения кинетической энергии: $\sum P_i = \frac{dK}{dt},\qquad P_i=\vec F_i\cdot\vec v.$
Для консервативной силы $\,\vec F=-\nabla U\,$ имеем $\,\vec F\cdot\vec v=-\dfrac{dU}{dt}$ , откуда $\frac{d}{dt}(K+U)=\sum P_{\text{неконс.}}.$

Путают сохранение механической энергии с сохранением импульса: это разные законы и условия применимости.
Забывают добавить работу трения/сопротивления: уравнение энергии «не сходится» по знаку.
Неверно выбирают нулевой уровень $U$ и теряют константу; помните, физически значимы только разности $U$ .
Путают знак: $A_{\text{конс.}}=-\Delta U$ , а не $+\Delta U$ .
Для пружины берут $U_{\text{upr}}=\tfrac12 k x$ вместо $U_{\text{upr}}=\tfrac12 k x^2$ .