Мощность

Понятие мощности

Средняя мощность за интервал $\Delta t$: $\bar P=\frac{A}{\Delta t}.$

Мгновенная мощность силы $\vec F$: $P=\frac{dA}{dt}=\vec F\cdot\vec v=F\,v\cos\varphi.$ Здесь $\varphi$ — угол между направлением силы и скорости.

Единица мощности: ватт, $1\,\text{Вт}=1\,\text{Дж/с}=1\,\text{Н·м/с}$.

Знак мощности: $P>0$, если сила «питает» тело (ускоряет по направлению движения); $P<0$, если сила «отбирает» энергию (тормозит).

Частные случаи: Прямолинейное поступательное движение: $P=F\,v\cos\varphi$. Равномерный подъём груза со скоростью $v$ вертикально вверх: $P=mgv$. Вращение вокруг оси: при моменте $M$ и угловой скорости $\omega$ $P=M\,\omega,\qquad \omega=\frac{d\varphi}{dt}.$

Геометрический смысл: работа равна площади под графиком мощности по времени: $A=\int_{t_1}^{t_2}P(t)\,dt.$

Теорема о мощности и кинетической энергии

Суммарная мощность всех сил, действующих на точку/тело, равна скорости изменения кинетической энергии: $\sum P_i=\frac{dK}{dt},\qquad K=\frac12 m v^2.$

КПД (коэффициент полезного действия)

Определение: $\eta=\frac{P_{\text{пол}}}{P_{\text{зат}}} =\frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{зат}}} =\frac{E_{\text{пол}}}{E_{\text{зат}}},\qquad 0\le\eta\le 1.$ Здесь $P_{\text{зат}}$ — подводимая (входная) мощность, $P_{\text{пол}}$ — полезная (выходная).

Проценты: $\eta_{\%}=100\%\cdot \eta$.

Последовательные ступени (передачи, подшипники, редуктор, рабочий орган): $\eta_{\text{общ}}=\eta_1\,\eta_2\,\eta_3\cdots$ (каждая $\eta_i<1$ уменьшает итог).

Потери: трение, вихревые и вязкие потери в жидкости/воздухе, джоулево тепло в обмотках, деформации, шум/вибрации.

Механическое преимущество и КПД механизмов

Для идеального механизма без потерь мощность сохраняется ($P_{\text{вх}}=P_{\text{вых}}$), поэтому уменьшение силы сопровождается увеличением скорости и наоборот.

Механическое преимущество (выигрыш в силе): $\text{МП}=\frac{F_{\text{вых}}}{F_{\text{вх}}}.$

Кинематическое (скоростное) отношение: $k_v=\frac{v_{\text{вх}}}{v_{\text{вых}}}=\frac{s_{\text{вх}}}{s_{\text{вых}}}.$

Идеальный механизм: $\,\text{МП}_{\text{идеал}}=k_v$ (потерь нет).

Реальный механизм: $\eta=\frac{P_{\text{вых}}}{P_{\text{вх}}} =\frac{F_{\text{вых}}\,v_{\text{вых}}}{F_{\text{вх}}\,v_{\text{вх}}} =\frac{\text{МП}}{k_v} \quad\Rightarrow\quad \text{МП}=\eta\,k_v.$

Примеры: Блоки и полиспаст: если груз подвешен на $n$ «несущих ветвей», то в идеале $F_{\text{вх}}=mg/n$; с учётом потерь $F_{\text{вх}}\approx \dfrac{mg}{n\,\eta}$. Редуктор: $P_{\text{вых}}=\eta P_{\text{вх}}$, $M_{\text{вых}}=\dfrac{P_{\text{вых}}}{\omega_{\text{вых}}}$ (при заданной $\omega_{\text{вых}}$ потери уменьшают доступный момент).

Оценочные формулы для задач

• Требуемая входная мощность привода при известной полезной: $P_{\text{вх}}=\frac{P_{\text{пол}}}{\eta}.$
• Подъём груза $m$ вертикально со скоростью $v$ через механизм с КПД $\eta$: $P_{\text{дв}}=\frac{mgv}{\eta}.$
• Вращение: при заданной выходной мощности и частоте $n$ (об/с) момент на валу $M=\frac{P}{\omega}=\frac{P}{2\pi n}.$

Типичные ошибки

• Подставляют $P=Fv$ без учёта угла: верно $P=Fv\cos\varphi$.
• Забывают, что $P$ может быть отрицательной (торможение, рекуперация).
• Путают «мощность на валу» и «потребляемую мощность» (их связывает $\eta$).
• Складывают КПД алгебраически вместо перемножения по ступеням.
• При расчёте «выигрыша в силе» не учитывают, что в реальности $\text{МП}=\eta\,k_v<k_v$.

Краткая сводка формул

$\begin{aligned} &\bar P=\frac{A}{\Delta t},\qquad P=\frac{dA}{dt}=\vec F\cdot\vec v=Fv\cos\varphi,\\[4pt] &P=M\omega,\qquad A=\int P(t)\,dt,\\[4pt] &\eta=\frac{P_{\text{пол}}}{P_{\text{зат}}}=\frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{зат}}},\quad 0\le \eta\le 1,\quad \eta_{\text{общ}}=\prod_i \eta_i,\\[4pt] &\text{МП}=\frac{F_{\text{вых}}}{F_{\text{вх}}},\ \ k_v=\frac{v_{\text{вх}}}{v_{\text{вых}}}=\frac{s_{\text{вх}}}{s_{\text{вых}}},\ \ \eta=\frac{\text{МП}}{k_v},\\[4pt] &P_{\text{дв}}=\frac{mgv}{\eta}\ \ (\text{равномерный подъём}),\qquad M=\frac{P}{2\pi n}. \end{aligned}$