Механическая работа

Определение работы и единицы

Механическая работа силы $\vec F$ на перемещении материальной точки $\mathrm d\vec r$: $\mathrm dA=\vec F\cdot \mathrm d\vec r=F\,\mathrm d r\cos\varphi,\quad A=\int_{1}^{2}\vec F\cdot \mathrm d\vec r.$ Здесь $\varphi$ — угол между $\vec F$ и направлением движения.

Для постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном участке: $A=F\,s\cos\varphi.$

Единица работы: джоуль ($1\,\text{Дж}=1\,\text{Н·м}$).

Знаки: если $\vec F$ сонаправлена с перемещением ($\varphi<90^\circ$), то $A>0$; если против ($\varphi>90^\circ$), то $A<0$.

Геометрический смысл работы

В проекции на траекторию: обозначим касательную компоненту $F_\tau$. Тогда $A=\int_{s_1}^{s_2} F_\tau(s)\,\mathrm d s.$

Геометрически: работа — это площадь под графиком зависимости $F_\tau$ от пройденного пути $s$ (с учётом знака).

В одномерном движении вдоль оси $x$: $A=\int_{x_1}^{x_2} F_x(x)\,\mathrm d x.$

Это площадь под графиком $F_x(x)$ между $x_1$ и $x_2$.

Теорема о работе и изменении кинетической энергии

Кинетическая энергия: $K=\dfrac12 m v^2$.

Теорема работы: $\sum A_i = \Delta K = K_2-K_1.$

Если силы разделены на консервативные и неконсервативные: $\Delta(K+U)=\sum A_{\text{неконс.}},$ где $U$ — суммарная потенциальная энергия консервативных сил.

Работа силы тяжести

Сила тяжести: $\vec F_g=m\vec g$ (вертикально вниз).

Работа на перемещении из точки высоты $h_1$ в $h_2$: $A_g=\int \vec F_g\cdot \mathrm d\vec r =m g\,(h_1-h_2)=m g\,\Delta h\quad(\Delta h=h_1-h_2).$

При подъёме ($h_2>h_1$) $A_g<0$, при спуске — $A_g>0$.

Сила тяжести — консервативная. Потенциальная энергия: $U_g=m g h,\qquad A_g=-(U_{g,2}-U_{g,1}).$

Работа тяжести не зависит от пути, а зависит только от разности высот.

Работа силы упругости (закон Гука)

Сила пружины: $\vec F_{\text{upr}}=-k\,x\,\vec i$ (направлена к равновесию; $x$ — смещение конца пружины от ненапряжённого состояния по оси $\vec i$).

Работа при переходе $x_1\to x_2$: $A_{\text{upr}}=\int_{x_1}^{x_2}(-k x)\,\mathrm d x =-\frac{k}{2}\,(x_2^2-x_1^2) =\frac{k}{2}\,(x_1^2-x_2^2).$

При растяжении ($|x|$ увеличивается) работа силы упругости отрицательна.

Потенциальная энергия пружины: $U_{\text{upr}}=\frac12 k x^2,\qquad A_{\text{upr}}=-(U_{\text{upr},2}-U_{\text{upr},1}).$

На графике $F$–$x$ работа — это площадь под графиком $F(x)=-k x$ (с учётом знака).

Работа силы трения

Трение скольжения: $F_{tr}=\mu_k N$ (против направления относительного движения). На пути $s$: $A_{tr}=-F_{tr}\,s=-\mu_k N\,s\ (<0).$

Эта сила неконсервативна: работа зависит от пути, а не только от начальной и конечной точек.

Трение покоя: $|F_{tr}|\le \mu_s N$; при отсутствии проскальзывания в простейшей модели мгновенная мощность $P=\vec F_{tr}\cdot \vec v_{\text{точки контакта}}=0$ (например, чистое качение по неподвижной опоре) ⇒ суммарная работа часто равна нулю. Но при наличии деформаций/движущихся опор возможна ненулевая работа (за рамками школьной модели).

Трение качения обычно моделируют малой силой/моментом сопротивления; её работа отрицательна.

Мощность (связь с работой)

Средняя мощность: $\displaystyle \bar P=\dfrac{A}{\Delta t}$.

Мгновенная мощность силы: $P=\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\vec F\cdot \vec v = F\,v\cos\varphi.$

Примеры «шаблонов»

Равномерное перемещение ящика по горизонтали со скольжением: внешняя тяга совершает положительную работу $A=F s$, трение — отрицательную $A_{tr}=-\mu_k N s$; при равномерном движении $F=\mu_k N$, поэтому $\Delta K=0$, а $A_{\text{тяги}}+A_{tr}=0$ (энергия превращается в тепло).

Движение по наклонной плоскости без проскальзывания: $A_g=m g\,\Delta h$, $A_{tr}$ зависит от пути $s$ и $\mu_k$, $A_{\text{upr}}$ при наличии пружины — по формуле выше.

Частые ошибки

• Путают знак работы (нужно учитывать угол $\varphi$ или направление касательной компоненты силы).
• Для пружины пишут $A_{\text{upr}}=+\dfrac12 k(x_2^2-x_1^2)$ (ошибка в знаке). Верно $A_{\text{upr}}=\dfrac{k}{2}(x_1^2-x_2^2)$.
• Считают, что работа тяжести зависит от траектории (на самом деле — только от разности высот).
• Забывают, что трение скольжения — неконсервативная сила: его работа зависит от длины пути.

Ключевые формулы (сводка)

$\begin{aligned} &\mathrm dA=\vec F\cdot \mathrm d\vec r,\quad A=\int \vec F\cdot \mathrm d\vec r,\quad A=F s\cos\varphi\ (\text{при const } \vec F).\\[4pt] &\text{1D: } A=\int_{x_1}^{x_2}F_x(x)\,\mathrm d x.\\[4pt] &\text{Теорема работы: } \sum A_i=\Delta K,\quad K=\tfrac12 m v^2.\\[4pt] &\text{Тяжесть: } A_g=m g\,(h_1-h_2),\quad U_g=m g h.\\[4pt] &\text{Пружина: } A_{\text{upr}}=\tfrac{k}{2}(x_1^2-x_2^2),\quad U_{\text{upr}}=\tfrac12 k x^2.\\[4pt] &\text{Трение скольжения: } A_{tr}=-\mu_k N\,s.\\[4pt] &\text{Мощность: } P=\vec F\cdot \vec v=F v\cos\varphi,\ \ \bar P=\dfrac{A}{\Delta t}. \end{aligned}$