Закон сохранения импульса

(Все формулы — в СИ; векторы обозначаем стрелкой.)

Определение и формулировка

• Импульс (количество движения) материальной точки: $\vec p = m\,\vec v$.
• Для системы тел: $\vec P = \sum_i \vec p_i = \sum_i m_i \vec v_i$.
• Закон сохранения импульса (ЗСИ): если суммарная внешняя сила на систему равна нулю, её суммарный импульс не изменяется: $\frac{d\vec P}{dt} = \sum \vec F_{\text{внеш}} = \vec 0 \ \Rightarrow\ \vec P=\text{const}.$

Вывод из II закона Ньютона

Для $i$-го тела: $m_i \dot{\vec v}_i = \vec F_{i,\text{внеш}} + \sum_{j\neq i}\vec F_{ij}$. Суммируя по $i$ и используя III закон Ньютона ($\vec F_{ij}=-\vec F_{ji}$), внутренние силы сокращаются: $\sum_i m_i \dot{\vec v}_i = \sum \vec F_{\text{внеш}} \ \Longleftrightarrow\ \frac{d\vec P}{dt}=\sum \vec F_{\text{внеш}}.$ Отсюда при $\sum \vec F_{\text{внеш}}=\vec 0$ получаем $\vec P=\text{const}$.

Импульсная форма (за конечный промежуток)

Интегрируя по времени $[t_1,t_2]$: $\vec P(t_2)-\vec P(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}\!\sum \vec F_{\text{внеш}}\,dt \equiv \vec J_{\text{внеш}}.$ Если внешний импульс $\vec J_{\text{внеш}}$ пренебрежимо мал (удар за очень малое время на гладкой опоре), то $\vec P$ практически сохраняется.

Центр масс и ЗСИ

Пусть $\vec R_{CM}$ — радиус-вектор центра масс, $M=\sum m_i$ — масса системы. Тогда $M\,\ddot{\vec R}_{CM}=\sum \vec F_{\text{внеш}}.$ Следствия:

• При $\sum \vec F_{\text{внеш}}=\vec 0$ центр масс движется равномерно и прямолинейно ($\dot{\vec R}_{CM}=\text{const}$).
• Даже при сложном внутреннем движении (взрывы, столкновения) траектория $\vec R_{CM}$ задаётся только внешними силами.

Системы переменной массы (ракета)

ЗСИ корректно применяется к замкнутой системе «ракета + истекающие газы». Для самой ракеты (открытая система) справедливо уравнение: $m\,\dot{\vec v} = \vec F_{\text{внеш}} + \dot m\,\vec u,$ где $\dot m<0$ — темп истечения, $\vec u$ — скорость истекающей массы относительно ракеты. В безвнешнем поле (и при постоянном $u$) интегрирование даёт формулу Циолковского: $\Delta v = u\,\ln\!\frac{m_0}{m}.$

Столкновения как следствие ЗСИ

• Для двух тел на прямой: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'.$ Дополнительное условие выбирается по типу удара:
• упругий: сохраняются и импульс, и кинетическая энергия;
• неупругий: импульс сохраняется, кинетическая энергия уменьшается (при «слипании» $v'=\dfrac{m_1 v_1+m_2 v_2}{m_1+m_2}$).
• При косом ударе раскладывают скорости по нормали и касательной к линии удара; ЗСИ применяют по нормали (касательная при отсутствии трения не меняется).

Инвариантность и система отсчёта

• Закон векторный и справедлив в любой инерциальной системе (Галилеево преобразование сохраняет форму ЗСИ).
• Глубокая связь с однородностью пространства (симметрия по сдвигам) — по Нётер: однородность пространства $\Rightarrow$ сохранение импульса.

Практический алгоритм решения задач

1. Чётко задать замкнутую систему и выбрать оси.
2. Оценить внешние силы/импульсы (когда ими можно пренебречь).
3. Записать $\,\sum m_i \vec v_i = \sum m_i \vec v_i'\,$ по выбранным осям.
4. Добавить дополнительное условие (тип удара, геометрические связи).
5. Решить и проверить предельные случаи (равные массы, $e=0$/$1$ и т.п.).

Частые ошибки

• Путаница между сохранением импульса (всегда для замкнутой системы) и сохранением кинетической энергии (только при упругих процессах).
• Неверный выбор системы: исключают часть взаимодействующих тел и приписывают «внешнюю» силу тому, что внутреннее.
• Игнорирование векторной природы: надо проектировать на оси (особенно при косых ударах).
• Для переменной массы применяют $m\dot{\vec v}=\sum \vec F$ без учёта потока импульса (члена $\dot m\,\vec u$).

Ключевые формулы (сводка)

• Импульс точки: $\vec p=m\vec v$; системы: $\vec P=\sum \vec p_i$.
• Теорема импульса: $\dfrac{d\vec P}{dt}=\sum \vec F_{\text{внеш}}$, или $\ \Delta \vec P=\vec J_{\text{внеш}}$.
• Замкнутая система: $\sum \vec F_{\text{внеш}}=\vec 0 \Rightarrow \vec P=\text{const}$.
• Центр масс: $M\,\ddot{\vec R}_{CM}=\sum \vec F_{\text{внеш}}$.
• Ракета (безвнешний случай): $\Delta v=u\ln\!\dfrac{m_0}{m}$.
• Столкновения (1D): $m_1 v_1+m_2 v_2=m_1 v_1'+m_2 v_2'$; при «слипании» $v'=\dfrac{m_1 v_1+m_2 v_2}{m_1+m_2}$.