Импульс тела

(Все формулы — в СИ; векторные величины помечаем стрелкой.)

Импульс (количество движения) тела

• Определение: $\ \vec p = m\,\vec v$.
• Единицы:$\[\vec p] = \text{кг·м/с} = \text{Н·с}$ .
• Для системы тел: $\ \vec P = \sum_i m_i \vec v_i$.
• Закон сохранения импульса: в замкнутой системе (внешняя результирующая сила равна нулю) $\ \Delta \vec P = \vec 0$, то есть $\ \sum_i m_i \vec v_{i}^{\,\prime} = \sum_i m_i \vec v_i$.

Импульс силы и теорема об изменении импульса

• Импульс силы за промежуток времени $\ [t_1, t_2]$: $\vec J = \int_{t_1}^{t_2} \vec F(t)\,dt.$
• Теорема импульса (импульсно-количественная): $\Delta \vec p = \vec p(t_2) - \vec p(t_1) = \vec J_{\text{внеш}}.$
• Для постоянной силы за время $\ \Delta t$: $\ \vec J = \vec F\,\Delta t$.
• Для системы тел: сумма внутренних импульсов сил равна нулю (по 3-му закону Ньютона), поэтому $\ \Delta \vec P = \vec J_{\text{внеш}}$.

Удар: кратковременное взаимодействие

• Удар — процесс за очень малое время $\ \Delta t$, когда силы велики, а перемещения малы. Удобно рассматривать импульсы сил.
• При ударе:
• Если внешние импульсы малы (например, горизонтальный стол с малым трением), то $\ \vec P$ системы практически сохраняется.
• Скорости до и после удара связаны законами сохранения импульса и законом восстановления (коэффициентом реституции).

Коэффициент реституции (восстановления) $e$

• Для двумерного/пространственного удара вводят единичный вектор нормали $\ \vec n$ вдоль линии удара (линии центров для сфер): $\big[(\vec v_2^{\,\prime}-\vec v_1^{\,\prime})\cdot \vec n\big] = -\,e\,\big[(\vec v_2-\vec v_1)\cdot \vec n\big],\qquad 0\le e\le 1.$
• Тангенциальные составляющие скоростей (перпендикулярные $\ \vec n$ ) при отсутствии трения не меняются.
• Частные случаи:
• Абсолютно упругий удар: $e=1$ (кинетическая энергия системы сохраняется).
• Абсолютно неупругий удар: $e=0$ (тела после удара движутся совместно вдоль нормали; потери кинетической энергии максимальны).

Линейный (1D) удар вдоль прямой

5.1 Сохранение импульса

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1^{\,\prime} + m_2 v_2^{\,\prime}.$

5.2 Закон восстановления (в 1D)

$v_2^{\,\prime} - v_1^{\,\prime} = -e\,(v_2 - v_1).$

5.3 Решения для скоростей

• Общий случай (произвольный $e$): $v_1^{\,\prime}=\frac{m_1 - e m_2}{m_1+m_2}\,v_1+\frac{(1+e)m_2}{m_1+m_2}\,v_2,\qquad v_2^{\,\prime}=\frac{(1+e)m_1}{m_1+m_2}\,v_1+\frac{m_2 - e m_1}{m_1+m_2}\,v_2.$
• Абсолютно упругий ($e=1$): $v_1^{\,\prime}=\frac{m_1 - m_2}{m_1+m_2}\,v_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}\,v_2,\qquad v_2^{\,\prime}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}\,v_1+\frac{m_2 - m_1}{m_1+m_2}\,v_2.$
• Абсолютно неупругий $(e=0)$: тела «слипаются», их общая скорость $v^{\,\prime}=\frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1+m_2} .$

Энергия при ударах

• В замкнутой системе импульс сохраняется, но кинетическая энергия $K=\sum \tfrac12 m_i v_i^2$:
• сохраняется только при $e=1$;
• уменьшается при $0\le e<1$ (часть энергии переходит в тепло, звук, деформации).
• Потеря кинетической энергии при ударе двух тел (1D, без трения): $\Delta K = K^{\,\prime}-K = -\,\frac{1-e^2}{2}\,\mu\,(v_1 - v_2)^2,\qquad \mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}.$ Здесь $\ \mu$ — приведённая масса. При $e=0$: $\ \Delta K = -\,\tfrac12 \mu (v_1 - v_2)^2$ (максимальная потеря).

Удобная точка зрения: система центра масс (СЦМ)

• В СЦМ суммарный импульс равен нулю: $\ \vec v_{1,\,\text{СЦМ}}+\frac{m_2}{m_1}\vec v_{2,\,\text{СЦМ}}=\vec 0$.
• При абсолютно упругом ударе в СЦМ модули скоростей сохраняются, а их направления отражаются относительно линии удара (по нормали): $\ \vec v_{i,\,\text{СЦМ}}^{\,\prime}$ — вектор той же величины, но «отражённый».
• Возврат в лабораторную систему даёт формулы из п. 5.3.

Косой (2D/3D) удар гладких шаров

• Разложите скорости на компоненты по нормали $\ \vec n$ (линия центров в момент удара) и по касательной $\ \vec \tau$: $\vec v_i = v_{i,n}\,\vec n + v_{i,\tau}\,\vec \tau,\qquad i=1,2.$
• При отсутствии трения:
• касательные компоненты не меняются: $\ v_{i,\tau}^{\,\prime}=v_{i,\tau}$;
• нормальные компоненты изменяются по формулам 1D с заменой $v_i \to v_{i,n}$.

Импульсные внешние воздействия и оценка замкнутости

• Если суммарный внешний импульс за время удара мал: $\ |\vec J_{\text{внеш}}|\ll |\Delta \vec p_{\text{внутр}}|$, то можно считать систему замкнутой и применить сохранение импульса.
• Типичные ситуации: краткий контакт на гладкой горизонтальной поверхности; удар на малом интервале времени по сравнению с характерным временем действия внешних сил (вес может давать малый импульс за $\ \Delta t$ ).

Частые ошибки

• Путают сохранение импульса (векторное, всегда для замкнутой системы) с сохранением кинетической энергии (только при $e=1$ ).
• Используют формулы упругого удара при неупругом ($e<1$).
• Забывают про направление вдоль нормали при косом ударе: закон восстановления действует только по нормали.
• В неупругом ударе принимают одинаковыми все компоненты скоростей: совместными становятся только нормальные (по линии удара) при $e=0$ и отсутствии трения.

Ключевые формулы (сводка)

• Импульс тела: $\ \vec p=m\vec v$.
• Импульс силы: $\ \vec J=\int \vec F\,dt$, теорема импульса: $\ \Delta \vec p = \vec J_{\text{внеш}}$.
• Сохранение импульса системы (замкнутая): $\ \sum m_i \vec v_i^{\,\prime}=\sum m_i \vec v_i$.
• Закон восстановления: $\ (\vec v_2^{\,\prime}-\vec v_1^{\,\prime})\cdot\vec n = -e\,(\vec v_2-\vec v_1)\cdot\vec n$.
• 1D-скорости при общем $e$: $v_1^{\,\prime}=\frac{m_1 - e m_2}{m_1+m_2}\,v_1+\frac{(1+e)m_2}{m_1+m_2}\,v_2,\quad v_2^{\,\prime}=\frac{(1+e)m_1}{m_1+m_2}\,v_1+\frac{m_2 - e m_1}{m_1+m_2}\,v_2.$
• Общая скорость при «слипании» ($e=0$): $\ v^{\,\prime}=\dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1+m_2}$.
• Потеря энергии: $\ \Delta K = -\,\dfrac{1-e^2}{2}\,\mu\,(v_1 - v_2)^2$, где $\ \mu=\dfrac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$.