Электрические цепи

Базовые понятия

• Участок цепи — совокупность элементов между двумя клеммами.
• Омические проводники (резисторы) подчиняются $U=I R$ при фиксированных условиях (материал, температура).
• Мощность: $P=U I=I^2R=\dfrac{U^2}{R}$.

Последовательное соединение

• Признак: один и тот же ток через все элементы: $I=\text{const}$.
• Эквивалентное сопротивление: $R_{\text{eq}}=\sum_{i=1}^{n} R_i.$
• Распределение напряжений (делитель напряжения): $U_k=I\,R_k=U\,\frac{R_k}{\sum_i R_i},\qquad \sum_k U_k=U.$
• Мощность каждого резистора: $P_k=I^2 R_k$ (наибольшая на большем $R_k$).
• Частные случаи: для $n$ одинаковых резисторов $R$ имеем $R_{\text{eq}}=nR$; напряжение делится поровну.

Параллельное соединение

• Признак: одно и то же напряжение на всех ветвях: $U=\text{const}$.
• Эквивалентная проводимость и сопротивление: $G_{\text{eq}}=\sum_{i=1}^{n} G_i=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_i},\qquad \frac{1}{R_{\text{eq}}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_i}.$
• Распределение токов (делитель тока): $I_k=G_k\,U=I\,\frac{G_k}{\sum_i G_i}=I\,\frac{\frac{1}{R_k}}{\sum_i \frac{1}{R_i}},\qquad \sum_k I_k=I.$ Для двух ветвей: $I_1=I\,\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$, $I_2=I\,\dfrac{R_1}{R_1+R_2}$.
• Мощность каждого резистора: $P_k=\dfrac{U^2}{R_k}$ (наибольшая на меньшем $R_k$).
• Частные случаи: для $n$ одинаковых резисторов $R$ имеем $R_{\text{eq}}=\dfrac{R}{n}$; токи равны.

Смешанные сети (последовательно-параллельные)

• Сокращают сеть, последовательно вычисляя $R_{\text{eq}}$ для блоков «последовательно» и «параллельно», пока не останется один эквивалент.
• После нахождения общего тока/напряжений «разворачивают» сокращения назад, находя $U_k$, $I_k$, $P_k$ элементов.

Законы Кирхгофа (кратко для сложных схем)

• Первый закон (токов, KCL): алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. $\sum I_{\text{вх}}-\sum I_{\text{вых}}=0.$
• Второй закон (напряжений, KVL): алгебраическая сумма падений напряжения на элементах вдоль любого замкнутого контура равна сумме ЭДС в нём. $\sum (\pm U_i)=\sum (\pm \mathcal{E}_j).$

Важные практические замечания

• Нагрев и допуски: реальное $R$ зависит от температуры ($R(T)$), у мощных делителей учитывают $P=I^2R$ и предельную рассеиваемую мощность.
• Измерения: вольтметр — параллельно участку (большое $R_V$), амперметр — последовательно (малое $R_A$).
• Краевые случаи: «обрыв» в последовательной цепи даёт $I=0$ во всей ветви; «короткое замыкание» параллельной ветви задавливает напряжение до нуля на узле.

Ключевые формулы (сводка)

$U=I R,\qquad P=U I=I^2R=\frac{U^2}{R}$

$R_{\text{series}}=\sum_i R_i,\qquad U_k=U\,\frac{R_k}{\sum_i R_i},\qquad I=\text{const}$

$\frac{1}{R_{\text{parallel}}}=\sum_i \frac{1}{R_i}\quad\Big(\text{или}\ G_{\text{eq}}=\sum_i G_i\Big),\qquad I_k=I\,\frac{1/R_k}{\sum_i 1/R_i},\qquad U=\text{const}$

$R_{\text{series}}(n\times R)=nR,\qquad R_{\text{parallel}}(n\times R)=\frac{R}{n}$