Работа и мощность постоянного тока

Работа электрического тока

• При протекании тока источник полей совершает работу по переносу зарядов: $A=U\,I\,t,$ где $U$ — напряжение на участке, $I$ — ток, $t$ — время.
• Единицы: $[A]=\text{J}$ (джоуль), поскольку $1\,\text{V}\cdot1\,\text{A}\cdot1\,\text{s}=1\,\text{J}$.
• В дифференциальной форме (мгновенно, для произвольных $u(t),i(t)$): $p(t)=u(t)\,i(t),\qquad dA=p(t)\,dt.$

Мощность постоянного тока

• Мощность — скорость совершения работы: $P=\frac{A}{t}=U\,I.$
• Для омического участка ($U=I R$) эквивалентные формы: $P=U\,I=I^2 R=\frac{U^2}{R}.$
• Единицы: $[P]=\text{W}$ (ватт).

Закон Джоуля–Ленца (тепловое действие тока)

• Количество теплоты, выделяющееся в проводнике сопротивления $R$ за время $t$ при токе $I$: $Q=I^2 R\,t=\frac{U^2}{R}\,t=U\,I\,t.$ Здесь $Q$ — теплота Джоуля (охлаждение внешней средой и изменения $R(T)$ не учитываем).
• В объёмной форме (локально): $w=\int_0^t u_v\,dt,\qquad u_v=\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}=\sigma E^2=\frac{j^2}{\sigma},$ где $u_v$ — объёмная плотность мощности (Вт/$м^3$), $\sigma$ — проводимость, $\mathbf{j}$ — плотность тока.

Баланс мощности в цепи с источником

• Источник с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, нагрузка $R$: $I=\frac{\mathcal{E}}{R+r},$ $P_{\text{src}}=\mathcal{E}\,I,\qquad P_{R}=I^2 R,\qquad P_{r}=I^2 r,$ $P_{\text{src}}=P_{R}+P_{r}.$
• КПД по мощности на нагрузке: $\eta=\frac{P_{R}}{P_{\text{src}}}=\frac{R}{R+r}.$

Зависимость от температуры и материалов

• Сопротивление $R(T)$ часто меняется с температурой (у металлов обычно возрастает), что изменяет $P=I^2 R(T)$ и реальное $Q$ за время $t$.
• В расчётах по Джоулю–Ленцу для длительных интервалов учитывают $R(T)$ и теплообмен; для коротких — можно брать $R\approx\text{const}$.

Знаки и режимы

• При постоянном токе: $U, I, P$ постоянны, $A=P\,t$.
• Знак $P$ задаётся соглашением о направлениях $u$ и $i$; для пассивной нагрузки (резистор) $P>0$ — поглощение энергии.

Типичные ошибки

• Путать работу $A$ и теплоту $Q$: в чисто резистивной нагрузке при DC $A=Q$, но это не верно для реактивных элементов (катушка, конденсатор).
• Забывать, что $P=I^2 R$ и $P=U^2/R$ применимы именно при омическом поведении и согласованных величинах ($U$ и $I$ на одном и том же элементе).
• Игнорировать влияние самонагрева на $R(T)$.

Ключевые формулы (сводка)

$A=U\,I\,t,\qquad P=U\,I=I^2 R=\frac{U^2}{R}$

$Q=I^2 R\,t=\frac{U^2}{R}\,t=U\,I\,t\quad(\text{закон Джоуля–Ленца})$

$u_v=\mathbf{j}\cdot\mathbf{E}=\sigma E^2=\frac{j^2}{\sigma}$

$I=\frac{\mathcal{E}}{R+r},\quad P_{\text{src}}=\mathcal{E}I,\quad P_{R}=I^2 R,\quad P_{r}=I^2 r,\quad \eta=\frac{R}{R+r}$