Давление жидкости и газа

(Все формулы — в СИ. Векторы опускаем, т.к. давление — скаляр.)

Определение давления

• Давление — физическая величина, равная силе, действующей перпендикулярно поверхности, отнесённой к площадке: $p=\frac{F_\perp}{S}.$
• Единица: паскаль, $1\,\text{Па}=1\,\text{Н}/\text{м}^2$.
• В покоящейся жидкости/газе в малых объёмах действуют нормальные напряжения (сдвиговые отсутствуют), поэтому давление — одинаково по всем направлениям в данной точке (изотропия).

Гидростатическое давление (жидкость в покое)

Пусть ось $z$ направлена вверх. Для однородной (несжимаемой) жидкости плотности $\rho$:

• Гидростатическое уравнение: $\frac{dp}{dz}=-\rho g.$
• Интегрирование даёт закон Стивена (рост давления с глубиной): $p(z)=p_0+\rho g\,(h),\qquad h=z_0-z,$ где $p_0$ — давление на свободной поверхности (обычно $p_{\text{атм}}$), $h$ — глубина ниже поверхности.
• Следствия:
• Давление растёт линейно с глубиной $h$.
• На одной и той же глубине $h$ — одинаковое давление (изобары — горизонтальны).
• На свободной поверхности $p=p_{\text{атм}}$.

Приблизительная оценка: в воде ($\rho\approx1000\,\text{кг/м}^3$) прирост $\rho g h\approx 9{,}8\cdot10^3\,h\,\text{Па}$. Примерно $1$ атм добавляется на каждые $\sim 10{,}3\,\text{м}$ глубины.

Аэростатическое давление (газ в покое)

Для газа плотность существенно меняется с высотой. В статике: $\frac{dp}{dz}=-\rho g.$

• При небольших изменениях высоты можно считать $\rho\approx\text{const}$ и использовать $p(z)\approx p_0-\rho g\,(z-z_0)$.
• В изотермической атмосфере с использованием состояния идеального газа ($\rho=\tfrac{M}{RT}\,p$) получают барометрическую формулу: $p(z)=p_0\,\exp\!\left(-\frac{M g}{R T}\,(z-z_0)\right),$ где $M$ — молярная масса воздуха (прибл. $0{,}029\,\text{кг/моль}$), $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Атмосферное давление

• Определение: давление столба воздуха над поверхностью Земли.
• Номинальные значения (уровень моря, $0^\circ\text{C}$): $1\,\text{атм}=101325\,\text{Па}\approx 101{,}3\,\text{кПа}=760\,\text{мм рт. ст.}$
• Опыт Торричелли: в ртутном барометре при равновесии $p_{\text{атм}}=\rho_{\text{Hg}} g h$, отсюда высота столба $h\approx760\,\text{мм}$ при $p_{\text{атм}}\approx1\,\text{атм}$.
• С ростом высоты $p_{\text{атм}}$ уменьшается (см. барометрическую формулу).

Абсолютное и избыточное (манометрическое) давление

• Абсолютное давление: $p_{\text{abs}}$ — отсчитывается от полного вакуума.
• Избыточное (манометрическое): $p_{\text{изб}}=p_{\text{abs}}-p_{\text{атм}}$.
• Разрежение (вакуумметрическое): $p_{\text{вак}}=p_{\text{атм}}-p_{\text{abs}}$.
• Связь: $p_{\text{abs}}=p_{\text{атм}}+p_{\text{изб}}.$

Манометры и измерение разности давлений

• Открытый U-образный манометр с жидкостью плотности $\rho_m$ измеряет разность давлений по высоте столбиков: $\Delta p=p_1-p_2=\rho_m g\,\Delta h.$
• Если в коленах различные жидкости (или газ/жидкость), используют равенство давлений на одной и той же горизонтали и записывают суммы гидростатических столбов.

Газ и жидкость: общие свойства давления

• Давление в покое передаётся во всех направлениях и действует перпендикулярно к любой мыслимой площадке в точке (изотропия).
• На границе раздела несмешивающихся сред в покое давления равны (с учётом возможной добавки поверхностного натяжения для изогнутой границы; в школьных задачах обычно не учитывают).

Частые ошибки

• Перепутаны абсолютное и избыточное давления при подстановке в формулы.
• В гидростатике берут $p=p_0-\rho g h$ для глубины $h$ (знак неверен). Правильно: $p=p_0+\rho g h$ (ниже — больше).
• Подставляют плотность не той жидкости в манометрической формуле.
• Считают, что в сообщающихся сосудах разный уровень одной и той же однородной жидкости при одинаковом внешнем давлении — на самом деле уровни совпадают.