Закон Паскаля

(Все формулы — в СИ. Давление — скалярная величина.)

Закон Паскаля

• Формулировка: внешнее давление, приложенное к замкнутой жидкости (в состоянии покоя), передаётся без изменения в каждой точке жидкости и к стенкам сосуда.
• Математически: при добавке внешнего давления $\Delta p_{\text{внеш}}$ во всем объёме жидкости возникает $\Delta p(\text{везде})=\Delta p_{\text{внеш}}.$
• В однородной несжимаемой жидкости в покое: $p(z)=p_0+\rho g h,\qquad h=z_0-z,$ где $p_0$ — давление на свободной поверхности (или на опорном уровне), $\rho$ — плотность, $h$ — глубина. Если сосуд закрыт и на жидкость сверху действует избыточное давление $p_{\text{изб}}$, то $p(z)=p_{\text{атм}}+p_{\text{изб}}+\rho g h.$

Замечания:

• Давление в жидкости изотропно (одинаково по всем направлениям) и действует перпендикулярно к любой площадке.
• Закон Паскаля справедлив для жидкостей и газов в пределах, где можно пренебречь сдвиговыми напряжениями (статические условия).

Сообщающиеся сосуды

• Определение: сосуды, соединённые в нижней части так, что жидкость может перетекать, образуют систему с общим давлением по одной горизонтали.
• Условие равновесия: давления на одной и той же горизонтали в связанном объёме жидкости одинаковы.

Одинаковая жидкость в обоих коленах

Если в обоих коленах одна и та же жидкость плотности $\rho$ и на свободные поверхности действует одинаковое внешнее давление (например, $p_{\text{атм}}$ ), то уровни поверхностей одинаковы: $p_{\text{атм}}+\rho g h_1=p_{\text{атм}}+\rho g h_2 \ \Rightarrow\ h_1=h_2.$

Различные жидкости

Если в левых и правых коленах стоят разные несмешивающиеся жидкости плотностей $\rho_1$ и $\rho_2$, то по горизонтали (через границу) должно выполняться: $p_{\text{пов,1}}+\rho_1 g h_1\ =\ p_{\text{пов,2}}+\rho_2 g h_2.$ При одинаковом давлении над поверхностями ($p_{\text{пов,1}}=p_{\text{пов,2}}$ ): $\rho_1 g h_1=\rho_2 g h_2\quad\Rightarrow\quad \frac{h_1}{h_2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}.$ (Менее плотная жидкость образует более высокий столб.)

Внешнее избыточное давление

Если на одно из колен сверху подано дополнительное избыточное давление $p_{\text{изб}}$, то уровни смещаются так, чтобы на любой общей горизонтали: $(p_{\text{атм}}+p_{\text{изб}})+\rho g h_{\text{лев}}=p_{\text{атм}}+\rho g h_{\text{прав}}.$

Типичные применения: манометры, уровнемеры, измерение разности давлений по разности высот столбов.

Гидравлический пресс (домкрат)

Принцип работы: из закона Паскаля следует, что при передаче давления через жидкость давление одинаково на всех поршнях: $p=\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2},$ где $F_1,\,F_2$ — силы на малом и большом поршнях, $S_1,\,S_2$ — их площади. Отсюда выигрыш в силе: $F_2=F_1\,\frac{S_2}{S_1}.$

Перемещения и работа

Из неразрывности (сохранения объёма при малых перемещениях): $S_1\,\Delta x_1=S_2\,\Delta x_2\quad\Rightarrow\quad \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}=\frac{S_1}{S_2}.$ В идеальном прессе (без потерь) работа сохраняется: $A_{\text{вх}}=F_1\,\Delta x_1=A_{\text{вых}}=F_2\,\Delta x_2.$ С учётом КПД $\eta$ (потери на трение, завихрения и т. п.): $F_2\,\Delta x_2=\eta\,F_1\,\Delta x_1\quad\Rightarrow\quad F_2=\eta\,F_1\,\frac{S_2}{S_1}.$

Ограничения и конструктивные замечания

• Реально максимальное давление ограничено прочностью стенок и деталей, кавитацией, а также пределом прочности уплотнений.
• Плотность и вязкость рабочей жидкости влияют на потери и динамический отклик.
• Для удержания груза необходимы обратные клапаны/запорные устройства.

Частые ошибки

• Путаница между абсолютным и избыточным давлением при подстановке в уравнения равновесия.
• В сообщающихся сосудах «учитывают форму сосуда»: форма не влияет на давление на одной горизонтали — влияет только глубина и плотность.
• В гидравлическом прессе ожидание выигрыша и в силе, и в перемещении одновременно: выигрыш в силе сопровождается потерей в ходе (меньшим перемещением груза).
• Игнорирование потерь: в реальности $\eta<1$, поэтому фактический $F_2$ меньше идеального.