Закон Архимеда

(Все формулы — в СИ. Жидкость/газ в покое, действие давления — перпендикулярно поверхности.)

Формулировка и смысл

Закон Архимеда: на всякое тело, полностью или частично погружённое в жидкость (или газ), действует направленная вверх выталкивающая сила (сила Архимеда), равная по модулю весу вытесненной телом жидкости (газа): $F_A=\rho_{\text{ср}}\,g\,V_{\text{выт}},$ где $\rho_{\text{ср}}$ — плотность среды (жидкости/газа), $V_{\text{выт}}$ — объём вытеснённой среды, $g$ — ускорение свободного падения.

Происхождение: из гидростатического распределения давления $p=p_0+\rho g h$ давление снизу больше, чем сверху; интеграл по поверхности даёт конечный результирующий подъёмный напор $F_A$.

Полезные случаи

(а) Полное погружение (твёрдое тело целиком в жидкости)

$F_A=\rho_{\text{ж}}\,g\,V,\qquad V=V_{\text{тела}}.$

(б) Частичное погружение (плавание)

$F_A=\rho_{\text{ж}}\,g\,V_{\text{погр}},\qquad V_{\text{погр}}\le V.$ На плаву в равновесии $F_A$ уравновешивает вес: $m g=\rho_{\text{ж}}\,g\,V_{\text{погр}}\quad\Rightarrow\quad \frac{V_{\text{погр}}}{V}=\frac{\rho_{\text{тела}}}{\rho_{\text{ж}}}.$

«Видимый» вес (аппаратная масса в жидкости)

Сила тяжести $P=mg$ направлена вниз, сила Архимеда — вверх. Результирующая на весах (подвес, динамометр): $P_{\text{вид}}=P-F_A=mg-\rho_{\text{ж}}\,g\,V.$ Если используется газ (воздух), действует малая аэростатическая подъёмная сила $F_A=\rho_{\text{возд}}\,g\,V$ (её часто учитывают при точных взвешиваниях).

Условия тонуть/всплывать/плавать

• Тонет: если $\rho_{\text{тела}}>\rho_{\text{ж}}$ (даже при полном погружении $F_A<mg$).
• Всплывает: если $\rho_{\text{тела}}<\rho_{\text{ж}}$ (до частичного погружения, пока $F_A$ не сравняется с $mg$).
• Невесомость в жидкости: если $\rho_{\text{тела}}=\rho_{\text{ж}}$ и тело целиком погружено, то $F_A=mg$ (без контакта со дном тело висит в толще жидкости).

Определение плотности твёрдого тела (гидростатическое взвешивание)

Пусть $W_{\text{возд}}$ — вес в воздухе, $W_{\text{ж}}$ — «видимый» вес при полном погружении в жидкость плотности $\rho_{\text{ж}}$. Тогда $\rho_{\text{тела}}=\rho_{\text{ж}}\;\frac{W_{\text{возд}}}{W_{\text{возд}}-W_{\text{ж}}}.$

Газы (аэростатика)

Для газов тот же закон: $F_A=\rho_{\text{г}}\,g\,V_{\text{выт}}.$ Применения: аэростаты, гелиевые шары. Условие горизонтального полёта оболочки объёма $V$ и массы системы $m_{\Sigma}$: $\rho_{\text{возд}}\,g\,V = m_{\Sigma}g + \rho_{\text{газа}}\,g\,V.$ Иначе: подъёмная сила «чистая» $F_A - m_{\text{газа}}g = (\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{газа}})\,g\,V$ должна равняться весу полезной нагрузки.

Центр давления и центр плавучести

• Центр плавучести — геометрический центр вытеснённого объёма; линия действия $F_A$ проходит через него, направлена вверх.
• Устойчивость плавания при малых кренах определяется взаимным расположением центра тяжести и центра плавучести (школьные задачи обычно не требуют расчёта метацентра).

Невесомость/ускоренные системы

В невесомости $(g_{\text{эфф}}=0)$ гидростатический напор отсутствует $\Rightarrow F_A=0$. В лифте с ускорением $a$ по вертикали можно использовать эффективное $g_{\text{эфф}}=g\pm a$: $F_A=\rho_{\text{ср}}\,g_{\text{эфф}}\,V_{\text{выт}}.$

Частые ошибки

• Подстановка плотности тела вместо плотности среды в формулу $F_A=\rho_{\text{ср}} g V_{\text{выт}}$.
• Путаница $V_{\text{выт}}$ (всегда объём вытеснённой среды) с $V_{\text{тела}}$ (они равны только при полном погружении).
• Забывают вычитать $F_A$ при расчёте «видимого» веса.
• Для плавающего тела неверно полагать $V_{\text{погр}}=V$ (на самом деле $V_{\text{погр}}/V=\rho_{\text{тела}}/\rho_{\text{ж}}$).