Движение жидкостей и газов

(Все формулы — в СИ. Здесь “жидкость/газ” = сплошная среда; идеальная жидкость — несжимаема и без вязкости.)

Основные понятия

• Установившееся (стационарное) течение: поля $p$, $\rho$, $\vec v$ не зависят от времени в данной точке.
• Линия тока: кривая, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором скорости.
• Расход (объёмный поток): $Q=\dfrac{\Delta V}{\Delta t}$, через сечение площади $S$: при почти равномерном профиле $Q\approx S\,v$.
• Массовый расход: $\dot m=\rho\,Q$.

Уравнение неразрывности (сохранение массы)

• Общее (для сжимаемой среды): $\rho_1 S_1 v_1=\rho_2 S_2 v_2=\dot m=\text{const}.$
• Несжимаемая жидкость $(\rho=\text{const})$: $S_1 v_1=S_2 v_2=Q=\text{const}.$
• Дифференциальная форма (для интересующихся): $\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\!\cdot(\rho\,\vec v)=0.$

Уравнение Бернулли (идеальная жидкость, установившееся течение вдоль одной линии тока)

$p+\rho g h+\frac{1}{2}\rho v^2=\text{const (вдоль линии тока)}.$

• Термины: статическое $p$, гидростатический $\rho g h$, динамическое давление $q=\tfrac12\rho v^2$.
• Разности между двумя сечениями 1–2: $p_1-p_2=\rho g(h_2-h_1)+\tfrac12\rho\,(v_2^2-v_1^2).$
• Примеры применения:
• Сопло/сужение (эффект Вентури): при уменьшении $S$ скорость $v$ растёт, статическое $p$ падает.
• Прибор Пито: $v=\sqrt{\dfrac{2(p_0-p)}{\rho}}$, где $p_0$ — полное (застойное) давление.
• Формула Торричелли (истечение из отверстия под столбом $h$ в ту же среду, потери пренебречь): $v=\sqrt{2 g h}.$

Важно: уравнение Бернулли не учитывает вязкость, вихри и тепловые эффекты; при реальном течении возникают потери напора.

Вязкость и ламинарное течение

• Динамическая вязкость $\eta$ (Па·с) связывает касательное напряжение и градиент скорости (закон Ньютона для вязкой жидкости): $\tau=\eta\,\frac{du}{dy}.$
• Течение Пуазёйля (длинная круглая труба, радиус $R$, длина $L$, ламинарно):
• Профиль скоростей (парабола): $u(r)=\frac{\Delta p}{4\eta L}\,(R^2-r^2).$
• Объёмный расход: $Q=\frac{\pi R^4}{8\eta L}\,\Delta p.$
• Средняя скорость: $v_{\text{avg}}=\dfrac{Q}{\pi R^2}=\dfrac{R^2}{8\eta L}\,\Delta p$.

Переход к турбулентности. Число Рейнольдса

• Безразмерный критерий: $\mathrm{Re}=\frac{\rho v D}{\eta}\quad(\text{для трубы } D=2R).$
• Типично для труб: ламинарно при $\mathrm{Re}\lesssim 2000$, турбулентно при $\mathrm{Re}\gtrsim 4000$, промежуток — переходный.
• При турбулентности растут потери энергии; профиль скорости «плоский» в средней части.

Сопротивление движению тел в среде

• Малые скорости, малые $\mathrm{Re}$ (формула Стокса, сфера радиуса R): $F_{d}=6\pi \eta R v.$
• Большие $\mathrm{Re}$ (квадратичное сопротивление): $F_{d}=\tfrac12\,\rho\,C_d\,A\,v^2,$ где $A$ — характерная площадь, $C_d$ — коэффициент лобового сопротивления.
• Предельная (установившаяся) скорость падения: при равновесии веса и сопротивления $mg=F_d$.

Сжимаемость газов

• Идеальный газ: $p=\rho R_{\text{уд}} T$ где $R_{\text{уд}}=R/M$.
• Маховское число: $M=\dfrac{v}{c}$, $c=\sqrt{\gamma R_{\text{уд}} T}$ — скорость звука.
• При $M\ll 1$ газ часто можно считать квазинесжимаемым $\Rightarrow \rho\approx\text{const}$ и применимы формулы как для жидкости.
• При $M\gtrsim 0{,}3$ сжимаемость важна (за рамками школьного уровня: волны, сопла Лаваля и т.п.).

Потери энергии и обобщённое уравнение Бернулли

Для реальных течений (вязкость, шероховатость) между сечениями 1–2: $p_1+\rho g h_1+\frac12\rho v_1^2=p_2+\rho g h_2+\frac12\rho v_2^2+\rho g\,h_f,$ где $h_f$ — потеря напора (на трение и местные сопротивления). В инженерии используют формулы типа Дарси–Вейсбаха (не требуются в школьных задачах, но знать о потерях полезно).

Частые ошибки

• Подставляют в неразрывность $S v=\text{const}$ там, где $\rho$ меняется заметно (газ при больших перепадах $p$, T).
• Применяют Бернулли между точками, которые не лежат на одной линии тока, или при существенной турбулентности без поправок.
• Забывают, что рост скорости (в сужении) ведёт к падению статического давления.
• В задачах по Пуазёйлю путают зависимость $Q\propto R^4$ (очень сильная чувствительность к радиусу!).