Условие плавания тел

(Все формулы — в СИ. Давления гидростатики и сила Архимеда рассматриваются для покоящейся среды.)

Закон Архимеда и равновесие на плаву

• Сила Архимеда (выталкивающая): $F_A=\rho_\ell\,g\,V_{\text{погр}},$ где $\rho_\ell$ — плотность жидкости (или газа), $V_{\text{погр}}$ — объём погружённой части тела.
• Условие плавания (равновесие по вертикали): $mg=F_A=\rho_\ell g\,V_{\text{погр}}.$ Отсюда масса вытесненной жидкости равна массе тела: $\rho_\ell\,V_{\text{погр}}=m.$

Доля объёма под водой и средняя плотность

• Для однородного тела объёма $V$ и плотности $\rho_t=\tfrac{m}{V}$: $\frac{V_{\text{погр}}}{V}=\frac{\rho_t}{\rho_\ell}.$ Следствия:
• Плавает: если $\rho_t<\rho_\ell$ (частично погружено).
• Тонет: если $\rho_t>\rho_\ell$ (даже при $V_{\text{погр}}=V$ $F_A<mg$).
• Невесомо в жидкости (в толще): если $\rho_t=\rho_\ell$ и $V_{\text{погр}}=V$.
• Для неоднородных/полых тел удобно вводить среднюю плотность $\bar\rho=\tfrac{m}{V}$: $\frac{V_{\text{погр}}}{V}=\frac{\bar\rho}{\rho_\ell}.$ → Лодка из стали плавает, потому что её средняя плотность (с учётом воздуха внутри) меньше $\rho_\ell$.

Осадка, водоизмещение, догрузка

• Водоизмещение (масса вытесненной жидкости): $M_{\text{выт}}=\rho_\ell V_{\text{погр}}=m.$
• При добавлении груза $\Delta m$ (жидкость та же): $\Delta V_{\text{погр}}=\frac{\Delta m}{\rho_\ell}.$ Если площадь среза по ватерлинии примерно постоянна и равна $S_w$, то изменение осадки (углубления) оценивается как $\Delta h\approx\frac{\Delta V_{\text{погр}}}{S_w}=\frac{\Delta m}{\rho_\ell\,S_w}.$

Плавание в двух слоях (две жидкости)

Если тело пересекает границу слоёв плотностей $\rho_1$ (верхний) и $\rho_2$ (нижний) и вытесняет объёмы $V_1$ и $V_2$: $mg=\rho_1 g\,V_1+\rho_2 g\,V_2,\qquad V_1+V_2=V_{\text{погр}}.$ Это позволяет находить, какая часть объёма уходит в нижний слой (качественно: более плотный слой «несёт» сильнее).

Влияние $g$ и ускоренных систем

В лифте с вертикальным ускорением $a$ эффективное $g_{\text{эфф}}=g\pm a$ и $mg_{\text{эфф}}=\rho_\ell g_{\text{эфф}}\,V_{\text{погр}} \ \Rightarrow\ \frac{V_{\text{погр}}}{V}=\frac{\rho_t}{\rho_\ell}.$ => Доля погружения не зависит от величины $g$ (при равномерном масштабировании), но сами силы меняются пропорционально $g_{\text{эфф}}$.

Устойчивость плавания (качественно)

• Центр тяжести $G$ — центр масс тела; центр плавучести $B$ — центр вытесненного объёма.
• При малом крене $B$ смещается; линия действия $F_A$ должна создавать восстанавливающий момент относительно $G$.
• Критерий малых углов (без формул): устойчиво, если результирующий момент возвращает судно к вертикали (в теории — положительная метацентрическая высота $GM>0$). В школьных задачах обычно достаточно указать: если при малом наклоне прямая действия $F_A$ проходит «по другую сторону» от $G$, возникает восстанавливающий момент.

Температура/солёность и плавание

• Увеличение плотности среды (солёная/холодная вода вместо пресной/тёплой) уменьшает требуемый $V_{\text{погр}}$: $V_{\text{погр}}=\frac{m}{\rho_\ell} \ \downarrow \ \text{при росте }\rho_\ell.$

Типичные ошибки

• Подстановка в $F_A=\rho g V_{\text{погр}}$ плотности тела вместо плотности жидкости.
• Путаница $V_{\text{погр}}$ и $V$ (равны только при полном погружении).
• Игнорирование изменения осадки при догрузке: забывают, что $\Delta V_{\text{погр}}=\Delta m/\rho_\ell$.
• Считать, что при изменении $g$ меняется доля погружения — не меняется (для одних и тех же $\rho_t,\rho_\ell$).

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$F_A=\rho_\ell\,g\,V_{\mathrm{pogr}}$ $mg=\rho_\ell\,g\,V_{\mathrm{pogr}}$ $\frac{V_{\mathrm{pogr}}}{V}=\frac{\rho_t}{\rho_\ell} \qquad (\text{для составного тела можно понимать } \rho_t \text{ как среднюю плотность})$ $M_{\mathrm{vyt}}=\rho_\ell\,V_{\mathrm{pogr}}=m$ $\Delta V_{\mathrm{pogr}}=\frac{\Delta m}{\rho_\ell}$ $\Delta h \approx \frac{\Delta V_{\mathrm{pogr}}}{S_w}=\frac{\Delta m}{\rho_\ell\,S_w}$ $mg=\rho_1 g V_1+\rho_2 g V_2,\qquad V_1+V_2=V_{\mathrm{pogr}}$