Степень с натуральным и целым показателями

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Степень с натуральным показателем

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$:

$a^n = a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ $(n)$ раз

Примеры:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ; $5^1 = 5$

Свойства степеней

Для $a \ne 0$, $b \ne 0$ и любых целых $m$, $n$ справедливы:

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• $a^m : a^n = a^{m-n}$ при $a \ne 0$
• $(a^m)^n = a^{mn}$
• $(ab)^n = a^n \cdot b^n$
• $\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ при $b \ne 0$

Степени с нулевым и отрицательным показателем

Для любого $a \ne 0$:

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

$a^0 = 1$

Примеры:

$5^0 = 1$ ; $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$

Квадратный корень

Квадратный корень из числа $a$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.

Примеры:

$\sqrt{25} = 5$ ; $\sqrt{1} = 1$ ; $\sqrt{0} = 0$

Корень из отрицательного числа не определён среди действительных чисел.

Свойства квадратного корня

Для неотрицательных чисел $a$ и $b$ верно:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a \ge 0$, $b \ge 0$

$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $a \ge 0$, $b > 0$

ПРИМЕРЫ

$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$

$(3^2)^4 = 3^8$

$\dfrac{2^5}{2^2} = 2^{5-2} = 2^3 = 8$

$\sqrt{49} = 7$

$\sqrt{16 \cdot 25} = \sqrt{400} = 20$ или $\sqrt{16} \cdot \sqrt{25} = 4 \cdot 5 = 20$