Декартовы координаты в пространстве

Декартова система координат в пространстве позволяет определить положение любой точки с помощью трёх взаимно перпендикулярных координатных осей.

Основные понятия

• Координатные оси: В пространстве проводят три взаимно перпендикулярные оси:
• Ось $Ox$ (ось абсцисс).
• Ось $Oy$ (ось ординат).
• Ось $Oz$ (ось аппликат).
• Начало координат: Точка пересечения трёх осей, её координаты $(0, 0, 0)$.
• Координаты точки: Любая точка $A$ в пространстве обозначается тремя числами: $A(x, y, z)$.
• Координаты $x$, $y$, $z$ показывают проекцию точки на соответствующие оси.

Основные формулы

1. Расстояние между двумя точками: Расстояние $d$ между точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ находится по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$ Это расширение формулы расстояния на плоскости.
2. Координаты середины отрезка: Для отрезка, соединяющего точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$, координаты его середины $M$ вычисляются как среднее арифметическое: $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$
3. Координаты вектора: Если вектор начинается в точке $A(x_1, y_1, z_1)$ и заканчивается в точке $B(x_2, y_2, z_2)$, его координаты: $\vec{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$
4. Длина вектора (модуль): Длина вектора $\vec{a} = (x; y; z)$ равна: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$