Арифметикалык квадраттык тамырдын касиеттери

Арифметикалык квадраттык тамыр — бул квадраты $a$-га барабар болгон терс эмес сан, мында $a \ge 0$.

• Белгилениши: $\sqrt{a}$
• Аныктама: $\sqrt{a} = b \iff b \ge 0, b^2 = a$

Мисал: $\sqrt{16}=4$, анткени $4 \ge 0$ жана $4^2 = 16$.

Негизги касиеттери

1. Көбөйтүндүнүн тамыры — эки же андан көп терс эмес сандардын көбөйтүндүсүнүн тамыры, ошол сандардын тамырларынын көбөйтүндүсүнө барабар.

• Формула: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, мында $a \ge 0, b \ge 0$.

Мисал: $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$. Ошол эле учурда, $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$.

2. Бөлчөктүн тамыры — терс эмес алымдын жана оң бөлүмдүн бөлчөгүнүн тамыры, алардын тамырларынын бөлчөгүнө барабар.

• Формула: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, мында $a \ge 0, b > 0$.

Мисал: $\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$.

3. Тамырды квадратка көтөрүү — тамырды квадратка көтөрсө, тамырдын астындагы сандын өзү келип чыгат.

• Формула: $(\sqrt{a})^2 = a$, мында $a \ge 0$.

Мисал: $(\sqrt{5})^2 = 5$.

4. Тамыр астындагы сандын квадраты — тамырдын астындагы сандын квадраты анын модулуна барабар.

• Формула: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Мисал: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$. Ошондой эле, $|-3| = 3$.

Квадраттык тамыр камтыган туюнтманы өзгөртүп түзүү

Көбөйтүүчүнү тамырдын астынан чыгаруу

Тамырдын астындагы санды жөнөкөй көбөйтүүчүлөргө ажыратуу аркылуу тамырдан толук же жарым-жартылай чыгарууга болот.

• Эреже: $\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}$ мында $(a \ge 0, b \ge 0)$

Мисал: $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.

Көбөйтүүчүнү тамырдын астына киргизүү

Тамырдын алдындагы оң көбөйтүүчүнү тамырдын астына квадратка көтөрүп киргизүүгө болот.

• Эреже: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ мында ($a \ge 0, b \ge 0)$

Мисал: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Окшош тамырларды кошуу жана кемитүү

Эгерде эки тамырдын астындагы сандары бирдей болсо, алар "окшош мүчөлөр" деп аталат жана аларды кадимки сандардай кошуп же кемитүүгө болот.

Мисал: $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (5+2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$. Мисал: $6\sqrt{7} - \sqrt{7} = (6-1)\sqrt{7} = 5\sqrt{7}$.

Бөлчөктүн бөлүмүн иррационалдыктан бошотуу

Бөлчөктүн бөлүмүндөгү тамырдан арылуу. Бул үчүн алымын жана бөлүмүн бирдей тамырга көбөйтөбүз.

Мисал: $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.