Алгебралык бөлчөк

Алгебралык бөлчөк — бул алымы жана бөлүмү көп мүчөлөрдөн турган туюнтма. Белгилениши: $\frac{P(x)}{Q(x)}$. Мында, $P(x)$ жана $Q(x)$ — көп мүчөлөр, жана $Q(x) \ne 0$ болушу керек.

Мисалдар: $\frac{x+2}{x-3}$, $\frac{a^2-4}{a+2}$, $\frac{3}{5y^2}$.

Эскертүү: Алгебралык бөлчөктүн бөлүмүн нөлгө айландырган маанилер үчүн туюнтма мааниге ээ болбойт.

Мисал: $\frac{x+2}{x-3}$ туюнтмасы $x=3$ болгондо мааниге ээ эмес.

Алгебралык бөлчөктөрдү жөнөкөйлөтүү

Бөлчөктүн алымын жана бөлүмүн бирдей жалпы көбөйтүүчүгө кыскартууга болот.

Мисал: $\frac{x^2-4}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$.

Алгебралык бөлчөктөр менен амалдар

Кошуу жана кемитүү

Бирдей бөлүмдүү бөлчөктөр: Алымдарын кошуп же кемитип, бөлүмүн өзгөртпөйбүз.

Мисал: $\frac{2x}{x+1} + \frac{3}{x+1} = \frac{2x+3}{x+1}$.

Ар башка бөлүмдүү бөлчөктөр: Жалпы бөлүмгө келтирип, андан кийин амалдарды аткарабыз. Жалпы бөлүм бөлчөктөрдүн бөлүмдөрүнүн ЭКЖБ-сы болот.

Мисал: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1 \cdot y}{x \cdot y} - \frac{1 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{y-x}{xy}$.

Көбөйтүү жана бөлүү

Көбөйтүү: Алымдарын алымына, бөлүмдөрүн бөлүмүнө көбөйтөбүз.

Мисал: $\frac{x-1}{5} \times \frac{10}{x+1} = \frac{(x-1) \times 10}{5 \times (x+1)} = \frac{2(x-1)}{x+1}$.

Бөлүү: Биринчи бөлчөктү экинчи бөлчөккө тескери бөлчөккө көбөйтөбүз.

Мисал: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$.

Бүтүн көрсөткүчтүү даражанын касиеттери

Бүтүн көрсөткүчтүү даража — бул оң, терс же нөл даража болушу мүмкүн.

Даражанын негизги аныктамасы: $a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ жолу}}$. Нөл даража: $a^0 = 1$ $(a \ne 0)$. Терс даража: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ $(a \ne 0)$.

Мисал: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Касиеттери

1. Бирдей негиздүү даражаларды көбөйтүү: $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

Мисал: $x^5 \times x^{-2} = x^{5+(-2)} = x^3$.

2. Бирдей негиздүү даражаларды бөлүү: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $(a \ne 0)$.

Мисал: $\frac{y^4}{y^{-2}} = y^{4-(-2)} = y^6$.

3. Даражаны даражага көтөрүү: $(a^m)^n = a^{mn}$.

Мисал: $(z^{-2})^3 = z^{-6} = \frac{1}{z^6}$.

4. Көбөйтүндүнү даражага көтөрүү: $(ab)^n = a^n b^n$.

Мисал: $(2x)^4 = 2^4 x^4 = 16x^4$.

5. Бөлчөктү даражага көтөрүү: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ $(b \ne 0)$.

Мисал: $\left(\frac{3}{c}\right)^{-2} = \left(\frac{c}{3}\right)^2 = \frac{c^2}{3^2} = \frac{c^2}{9}$.