Барабарсыздыктар жана алардын касиеттери

Барабарсыздыктардын аныктамасы

Барабарсыздык — бул эки сандын же туюнтманын бири экинчисинен чоң же кичине экенин көрсөтүүчү туюнтма.

• Белгилери:
• $a > b$ (a саны bдан чоң)
• $a < b$ (a саны bдан кичине)
• $a \ge b$ (a саны bдан чоң же барабар)
• $a \le b$ (a саны bдан кичине же барабар)

Мисалдар: $5 > -2$. $x+3 < 7$. $y \ge 10$.

Барабарсыздыктардын негизги касиеттери

Бул касиеттер барабарсыздыктарды жөнөкөйлөтүүдө же чечүүдө колдонулат.

1. Симметриялык касиет: Эгер $a > b$ болсо, анда $b < a$.

Мисал: $10 > 3$ болсо, анда $3 < 10$.

2. Транзитивдик касиет: Эгер $a > b$ жана $b > c$ болсо, анда $a > c$.

Мисал: $8 > 5$ жана $5 > 2$ болсо, анда $8 > 2$.

3. Кошууга жана кемитүүгө карата касиет: Барабарсыздыктын эки жагына бирдей санды кошсо же кемитсе, анын белгиси өзгөрбөйт. Эгер $a > b$ болсо, анда $a+c > b+c$ жана $a-c > b-c$.

Мисал: $4 > 1$. Эки жагына тең 5ти кошобуз: $4+5 > 1+5 \implies 9 > 6$. Барабарсыздык туура.

4. Көбөйтүүгө жана бөлүүгө карата касиет:

• Оң санга көбөйтүү же бөлүү: Барабарсыздыктын эки жагын тең оң санга ($c > 0$) көбөйтсө же бөлсө, барабарсыздыктын белгиси өзгөрбөйт. Эгер $a > b$ болсо, анда $ac > bc$ жана $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
• Терс санга көбөйтүү же бөлүү: Барабарсыздыктын эки жагын тең терс санга ($c < 0$) көбөйтсө же бөлсө, барабарсыздыктын белгиси карама-каршыга өзгөрөт. Эгер $a > b$ болсо, анда $ac < bc$ жана $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

Мисал: $6 > 2$. Эки жагын тең -3кө көбөйтөбүз: $6 \times (-3) < 2 \times (-3) \implies -18 < -6$. Барабарсыздык туура.

5. Даражага көтөрүүгө карата касиет:

• Жуп даража: Эгер $a > b > 0$ болсо, анда $a^n > b^n$ (мында $n$ — натуралдык сан).

Мисал: $4 > 2 \implies 4^2 > 2^2 \implies 16 > 4$.

• Так даража: Каалаган сандарды так даражага көтөргөндө белгиси өзгөрбөйт. Эгер $a > b$ болсо, анда $a^n > b^n$ (мында $n$ — так натуралдык сан).

Мисал: $2 > -3 \implies 2^3 > (-3)^3 \implies 8 > -27$.

Кош барабарсыздыктар

Үч сандын ортосундагы байланышты көрсөтөт.

• Белгилениши: $a < x < b$
• Мааниси: $x$ саны a дан чоң, бирок b дан кичине.

Мисал: $1 < x < 5$ ($x$ саны 1 менен 5тин ортосунда жайгашкан).

• Касиеттери: Жогорудагы касиеттер кош барабарсыздыкка да колдонулат. Мисалы, $-1 < x < 3$. Бардык бөлүктөрүн 2ге көбөйтсөк: $-2 < 2x < 6$.