Натуралдык жана бүтүн сандардын даража көрсөткүчү

Даража көрсөткүч жана квадраттык тамыр

Натуралдык даража көрсөткүчү

Даражага көтөрүү — бул бирдей көбөйтүүчүлөрдүн көбөйтүндүсүн кыскартып жазуу.

• Белгилениши: $a^n$
• $a$ — негизи (основание), кайталанып көбөйтүлүп жаткан сан.
• $n$ — даража көрсөткүчү (показатель степени), сан канча жолу көбөйтүлгөнүн көрсөтөт.
• Аныктама: $a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ жолу}}$

Мисалдар: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. $(-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25$. $(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = -125$.

Даражанын касиеттери (натуралдык көрсөткүч үчүн)

• Бирдей негиздүү даражаларды көбөйтүү: $a^m \times a^n = a^{m+n}$

Мисал: $3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$.

• Бирдей негиздүү даражаларды бөлүү: $a^m \div a^n = a^{m-n}$ $(m > n$, $a \ne 0)$

Мисал: $5^7 \div 5^3 = 5^{7-3} = 5^4$.

• Даражаны даражага көтөрүү: $(a^m)^n = a^{m \times n}$

Мисал: $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$.

• Көбөйтүндүнү даражага көтөрүү: $(ab)^n = a^n b^n$

Мисал: $(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1000$.

• Бөлчөктү даражага көтөрүү: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ $(b \ne 0)$

Мисал: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.

• Нөл даража: $a^0 = 1$ $(a \ne 0)$

Мисал: $100^0 = 1$.

• Бир даража: $a^1 = a$

Мисал: $7^1 = 7$.

Бүтүн даража көрсөткүчү

Терс даража көрсөткүчү бар даражаны туура бөлчөк катары жазууга болот.

• Аныктама: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ($a \ne 0$)

Мисалдар: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$. $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$.

Бүтүн даража көрсөткүчү үчүн даражанын жогорудагы касиеттери сакталат.

Квадраттык тамыр

Квадраттык тамыр — бул квадраты берилген санга барабар болгон сан.

• Белгилениши: $\sqrt{a}$

• Аныктама: $\sqrt{a}=b$ бул $b^2=a$ дегенди билдирет.

• Арифметикалык квадраттык тамыр: $a \ge 0$ болгондо, арифметикалык квадраттык тамыр — квадраты $a$-га барабар болгон терс эмес сан.

Мисал: $\sqrt{49} = 7$, анткени $7^2 = 49$ жана $7 \ge 0$. $\sqrt{49} \ne -7$, себеби $-7 < 0$. Терс сандан квадраттык тамыр алуу мүмкүн эмес. Мисалы, $\sqrt{-9}$ чыныгы сандарда мааниге ээ эмес.

Тамырдын негизги касиети:

• $\sqrt{a^2} = |a|$

Мисалдар: $\sqrt{5^2} = |5| = 5$. $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$.