Сандык барабарсыздыктар жана алардын касиеттери

Сандык барабарсыздыктардын аныктамасы

Сандык барабарсыздык — бул эки сандын бири экинчисинен чоң же кичине экенин көрсөтүүчү туюнтма.

• Белгилери:
• > — чоң
• < — кичине
• >= — чоң же барабар
• <= — кичине же барабар

Мисалдар: $5 > 3$ (5 саны 3төн чоң). $-2 < 1$ (-2 саны 1ден кичине). $x \geq 4$ ($x$ саны 4төн чоң же барабар).

Барабарсыздыктардын негизги касиеттери

Бул касиеттер барабарсыздыктарды жөнөкөйлөтүүдө же чечүүдө колдонулат.

1. Симметриялык касиет: Эгер $a > b$ болсо, анда $b < a$.

Мисал: Эгер $7 > 2$ болсо, анда $2 < 7$.

2. Транзитивдик касиет: Эгер $a > b$ жана $b > c$ болсо, анда $a > c$.

Мисал: Эгер $10 > 5$ жана $5 > 1$ болсо, анда $10 > 1$.

3. Кошууга карата касиет: Барабарсыздыктын эки жагына бирдей санды кошсо же кемитсе, барабарсыздыктын белгиси өзгөрбөйт.

• Эгер $a > b$ болсо, анда $a+c > b+c$.
• Эгер $a > b$ болсо, анда $a-c > b-c$.

Мисал: $5 > 3$. Эки жагына тең 2ни кошобуз: $5+2 > 3+2 \implies 7 > 5$. Барабарсыздык туура.

4. Көбөйтүүгө жана бөлүүгө карата касиет:

• Оң санга көбөйтүү же бөлүү: Барабарсыздыктын эки жагын тең оң санга (мисалы, $c>0$) көбөйтсө же бөлсө, барабарсыздыктын белгиси өзгөрбөйт.
• Эгер $a > b$ болсо, анда $ac > bc$ жана $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.

Мисал: $6 > 4$. Эки жагын тең 2ге көбөйтөбүз: $6 \times 2 > 4 \times 2 \implies 12 > 8$. Барабарсыздык туура.

• Терс санга көбөйтүү же бөлүү: Барабарсыздыктын эки жагын тең терс санга (мисалы, $c<0$) көбөйтсө же бөлсө, барабарсыздыктын белгиси карама-каршыга өзгөрөт.
• Эгер $a > b$ болсо, анда $ac < bc$ жана $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

Мисал: $6 > 4$. Эки жагын тең -2ге көбөйтөбүз: $6 \times (-2) < 4 \times (-2) \implies -12 < -8$. Барабарсыздык туура.

5. Даражага көтөрүүгө карата касиет:

• Жуп даража: Эгер барабарсыздыктын эки жагы тең терс эмес болсо, анда жуп даражага көтөрсө болот.
• Эгер $a > b \ge 0$ болсо, анда $a^n > b^n$ (мында $n$ — натуралдык сан).

Мисал: $5 > 3 \implies 5^2 > 3^2 \implies 25 > 9$.

• Так даража: Барабарсыздыктын эки жагын тең так даражага көтөргөндө белгиси өзгөрбөйт.
• Эгер $a > b$ болсо, анда $a^n > b^n$ (мында $n$ — так натуралдык сан).

Мисал: $2 > -3 \implies 2^3 > (-3)^3 \implies 8 > -27$.

Кош барабарсыздыктар

Үч сандын ортосундагы байланышты көрсөтөт.

• Белгилениши: $a < x < b$
• Мааниси: $x$ саны $a$ дан чоң, бирок $b$ дан кичине.

Мисал: $2 < x < 5$ (бул $x$ саны $2$ менен 5тин ортосундагы сан экенин көрсөтөт).

• Касиеттери: Жогорудагы касиеттер кош барабарсыздыкка да колдонулат.

Мисал: $-1 < x < 3$. Бардык бөлүктөрүн 2ге көбөйтөбүз: $-1 \times 2 < x \times 2 < 3 \times 2 \implies -2 < 2x < 6$.