Закон Гука

Одноосное растяжение: основные величины

• Испытание на растяжение проводят образцом длины базы $L_0$ и начального сечения $A_0$.
• Инженерные (номинальные) напряжение и деформация: $\sigma_e=\frac{F}{A_0},\qquad \varepsilon_e=\frac{\Delta L}{L_0}=\frac{L-L_0}{L_0}$
• Истинные (истинная площадь/удлинение): $\sigma_t=\frac{F}{A},\qquad \varepsilon_t=\int_{L_0}^{L}\frac{dL}{L}=\ln\!\frac{L}{L_0}$ На практике для школьного уровня обычно используют инженерные величины.

Закон Гука (линейная упругая область)

• При малых деформациях связь прямо пропорциональная: $\sigma=E\,\varepsilon$ где $E$ — модуль Юнга (Па), $\sigma$ и $\varepsilon$ — соответственно нормальное напряжение и относительная деформация.
• Плотность упругой энергии (работа на единицу объёма): $w=\tfrac12\,\sigma\varepsilon=\tfrac12\,E\,\varepsilon^2$
• Поперечная контрактция (эффект Пуассона): $\nu=-\frac{\varepsilon_{lat}}{\varepsilon_{ax}},\qquad 0\le\nu<0.5$
• Связи модулей для изотропных материалов: $E=2G(1+\nu),\qquad K=\frac{E}{3(1-2\nu)}$ где $G$ — модуль сдвига, $K$ — модуль объёмного сжатия.

Обобщённая (3D) линейно-упругая связь

• В тензорной форме для изотропного тела: $\sigma_{ij}=2G\,\varepsilon_{ij}+\lambda\,\delta_{ij}\,\varepsilon_{kk}$ где $\lambda$ — вторая константа Ламе, $\delta_{ij}$ — символ Кронекера.
• В одноосном случае формулы сводятся к $\sigma=E\varepsilon$ и поперечным деформациям через $\nu$.

Диаграмма растяжения (инженерная $\sigma_e$–$\varepsilon_e$)

Типичный вид кривой при квазистатическом растяжении:

1. OA — линейно-упругая область (закон Гука): $\sigma=E\varepsilon$; при разгрузке возврат в исходную длину.
2. Точка пропорциональности/упругий предел: верхняя граница линейности и обратимости (на практике часто близки).
3. Предел текучести $\sigma_y$: начало пластической деформации. Для некоторых сталей есть плато текучести.

• В расчётах часто применяют условный предел текучести $\,\sigma_{0.2}$ по методу offset $\,0.2\%$: $\varepsilon_{off}=0.002$

4. Упрочнение (восходящий участок): при увеличении $\varepsilon$ напряжение растёт до временного сопротивления (инженерный максимум) — UTS: $\sigma_{UTS}=\max \sigma_e$
5. Шейка (шейкообразование, necking): после UTS локальное сужение сечения; $\sigma_e$ падает из-за уменьшения $A_0$ фиксированного в определении. Истинное напряжение $\sigma_t$ при этом может ещё расти.
6. Разрушение (F): конечная точка диаграммы; фиксируют относительное удлинение при разрыве и сужение сечения: $\delta=\frac{L_f-L_0}{L_0},\qquad \psi=\frac{A_0-A_f}{A_0}$

Хрупкие материалы (стекло, чугун): малая пластичность, разрушение близко к линейному участку, отсутствует выраженное упрочнение и шейка. Вязко-пластичные (низкоуглеродистая сталь, алюминий): длинный пластический участок, заметная шейка.

Тангенсный и секущий модули (нелинейная часть)

• Тангенсный модуль — наклон касательной: $E_t=\frac{d\sigma}{d\varepsilon}$
• Секущий модуль — наклон от начала до текущей точки: $E_s=\frac{\sigma}{\varepsilon}$ В линейной области $E_t=E_s=E$.

Площади под кривой: энергетический смысл

• Упругая энергия (resilience) — запасаемая и полностью возвращаемая при разгрузке (площадь под кривой до $\sigma_y$): $U_r\approx\frac{\sigma_y^2}{2E}$
• Вязкость разрушения/ударная вязкость (toughness) — полная площадь под диаграммой до разрушения (работа на единицу объёма). Для хрупких $\,\to$ мала, для вязких $\,\to$ велика.

Разгрузка, циклы, гистерезис (кратко)

• В упругой области разгрузка идёт по той же прямой (без остатка).
• При пластической деформации после разгрузки остаётся остаточное удлинение, наблюдается гистерезисная петля.

Типичные ошибки

• Использование $\sigma=F/A$ вместо $\sigma=F/A_0$ при инженерном определении.
• Применение закона Гука за пределами линейной области.
• Игнорирование различий между $\sigma_e,\varepsilon_e$ и $\sigma_t,\varepsilon_t$ в зоне шейки.
• Путаница между пределом пропорциональности, упругим пределом и пределом текучести.

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$\sigma_e=\frac{F}{A_0},\qquad \varepsilon_e=\frac{L-L_0}{L_0}$

$\sigma_t=\frac{F}{A},\qquad \varepsilon_t=\ln\frac{L}{L_0}$

$\sigma=E\,\varepsilon,\qquad w=\tfrac12\,\sigma\varepsilon=\tfrac12\,E\,\varepsilon^2$

$\nu=-\frac{\varepsilon_{lat}}{\varepsilon_{ax}},\qquad E=2G(1+\nu),\qquad K=\frac{E}{3(1-2\nu)}$

$\sigma_{ij}=2G\,\varepsilon_{ij}+\lambda\,\delta_{ij}\,\varepsilon_{kk}$

$E_t=\frac{d\sigma}{d\varepsilon},\qquad E_s=\frac{\sigma}{\varepsilon},\qquad U_r\approx\frac{\sigma_y^2}{2E}$