Виды деформации твердых тел

Виды деформации твёрдых тел

Базовые понятия

• Деформация — изменение формы и/или размеров тела под действием нагрузок (сил, моментов, давления, температурных полей).
• Напряжение: нормальное $\sigma$ и касательное $\tau$. Для одноосного растяжения/сжатия: $\sigma=F/A$.
• Относительная деформация:
• продольная (нормальная) $\varepsilon=\Delta L/L$;
• сдвиговая $\gamma$ — угловая деформация (в радианах);
• объёмная $\varepsilon_v=\Delta V/V$.

Классификация деформаций

• По характеру:
• упругая (обратимая; при снятии нагрузок тело возвращается к исходным размерам);
• пластическая (необратимая; остаются остаточные деформации);
• вязкоупругая (времязависимое сочетание упругой и вязкой реакции: ползучесть, релаксация).
• По виду напряжённого состояния:
• растяжение/сжатие (одноосное нормальное напряжение);
• сдвиг (чистый сдвиг, плоский сдвиг);
• кручение (момент кручения вокруг оси стержня);
• изгиб (поперечные силы и изгибающие моменты);
• объёмное сжатие/растяжение (гидростатическое давление).

Одноосная упругая деформация (линейная упругость)

• Закон Гука (малая деформация, линейный материал): $\sigma=E\,\varepsilon$ где $E$ — модуль Юнга.
• Поперечные деформации (эффект Пуассона): $\nu=-\frac{\varepsilon_{lat}}{\varepsilon_{ax}}$ где $\nu$ — коэффициент Пуассона.
• Удлинение стержня длины $L$ и площади сечения $A$ под силой $F$: $\Delta L=\frac{F\,L}{E\,A}$
• Плотность упругой энергии в одноосном случае: $w=\tfrac{1}{2}\sigma\varepsilon=\tfrac{1}{2}E\varepsilon^{2}$

Сдвиг (чистый сдвиг)

• Связь напряжения и деформации сдвига: $\tau=G\,\gamma$ где $G$ — модуль сдвига.
• Связи модулей для изотропного материала: $E=2G(1+\nu),\qquad K=\frac{E}{3(1-2\nu)}$ где $K$ — модуль объёмного сжатия.

Объёмная деформация (гидростатика)

• При равномерном давлении $p$ (знак «на сжатие» положительный по принятой конвенции): $p=K\,\varepsilon_v,\qquad \varepsilon_v=\frac{\Delta V}{V}$
• Для идеальной несжимаемости принято $\nu\to 0.5$, $\varepsilon_v\to 0$.

Кручение круглого вала (упругая стадия)

• Касательные напряжения по радиусу $r$: $\tau(r)=\frac{T\,r}{J}$ где $T$ — крутящий момент, $J$ — полярный момент инерции сечения.
• Угол закручивания на длине $L$: $\varphi=\frac{T\,L}{G\,J}$
• Для сплошного круга радиуса $R$: $J=\frac{\pi R^{4}}{2},\qquad \tau_{max}=\frac{T\,R}{J}$

Изгиб балки (упругая стадия, плоские сечения)

• Нормальные напряжения при чистом изгибе: $\sigma(y)=\frac{M\,y}{I}$ где $M$ — изгибающий момент, $y$ — расстояние от нейтральной оси, $I$ — осевой момент инерции сечения.
• Кривизна: $\kappa=\frac{M}{E\,I}$
• Сдвиговые напряжения в балке (общее приближение Йоравски): $\tau=\frac{V\,Q}{I\,b}$ где $V$ — поперечная сила, $Q$ — статический момент части сечения относительно нейтральной оси, $b$ — ширина сечения в рассматриваемой точке.

Предельно кратко о пластичности (за рамками линейной упругости)

• При превышении предела текучести материал переходит в пластическую деформацию: связь $\sigma$–$\varepsilon$ становится нелинейной, появляются остаточные деформации.
• Для конструкционных расчётов используют диаграмму растяжения, критерии текучести и упрочнения (в дальнейшем изучается отдельно).

Типичные ошибки

• Применение линейных формул при больших деформациях (нужны геометрически нелинейные модели).
• Подстановка градусов вместо радиан для $\gamma$.
• Игнорирование влияния $\nu$ при пересчёте между $E$, $G$, $K$.
• Использование формул кручения/изгиба вне области упругости или для не тех сечений (например, тонкостенные профили требуют особых формул).

Ключевые формулы (сводка, совместимый рендер)

$\sigma=\frac{F}{A},\qquad \varepsilon=\frac{\Delta L}{L},\qquad \sigma=E\,\varepsilon$

$\nu=-\frac{\varepsilon_{lat}}{\varepsilon_{ax}},\qquad \Delta L=\frac{F\,L}{E\,A},\qquad w=\tfrac{1}{2}\sigma\varepsilon$

$\tau=G\,\gamma,\qquad E=2G(1+\nu),\qquad K=\frac{E}{3(1-2\nu)}$

$p=K\,\varepsilon_v,\qquad \varepsilon_v=\frac{\Delta V}{V}$

$\tau(r)=\frac{T\,r}{J},\qquad \varphi=\frac{T\,L}{G\,J},\qquad J=\frac{\pi R^{4}}{2}$

$\sigma(y)=\frac{M\,y}{I},\qquad \kappa=\frac{M}{E\,I},\qquad \tau=\frac{V\,Q}{I\,b}$