Волновая оптика. Скорость света

Свет — электромагнитная волна; для монохроматической плоской волны: $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\Re\{\hat{\mathbf{E}}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\},\qquad \mathbf{k}=\frac{2\pi}{\lambda}\hat{\mathbf{s}},\ \ \omega=2\pi f.$
В однородной среде с показателем преломления $n$ фазовая скорость: $v_p=\frac{\omega}{k}=\frac{c}{n},\qquad c=299\,792\,458\ \text{m/s (точно, в вакууме)}.$

Любое поле — сумма (интерференция) полей от всех источников/элементів фронта: $U(P)=\iint U(\Sigma)\,K(\Sigma,P)\,d\Sigma.$
Качественно: каждая точка фронта — вторичный источник; новый фронт — огибающая вторичных волн.

Разность фаз двух монохроматических волн: $\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta,$ где $\Delta$ — разность хода.
Интенсивность суммарного поля при одинаковых амплитудах $E_0$ : $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta,\qquad I_k\propto E_0^2.$
Максимумы и минимумы: $\Delta=m\lambda\ \ (\text{max}),\qquad \Delta=\left(m+\tfrac12\right)\lambda\ \ (\text{min}).$
Двухщелевая интерференция (щели на расстоянии $d$ , экран на расстоянии $L\gg d$ ): $y_m\approx m\frac{\lambda L}{d},\qquad \beta=\frac{\lambda L}{d}.$

Одна щель ширины $a$ (удалённый экран): $I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2,\qquad \alpha=\frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta.$ Минимумы при $a\sin\theta=m\lambda,\ m=\pm1,\pm2,\dots$
Круглая апертура (первый минимум Эйри): $1.22\,\frac{\lambda}{D}$ — угловой радиус первого минимума (в радианах), $D$ — диаметр.

Условие максимумов (период решётки $d$ ): $d\sin\theta_m=m\lambda.$
Разрешающая способность (идеальная, порядка $mN$ ): $R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}\approx mN,$ где $m$ — порядок, $N$ — число освещённых штрихов.

Линейная поляризация: вектор $\mathbf{E}$ колеблется в фиксированной плоскости.
Закон Малюса (поляризатор–анализатор): $I=I_0\cos^2\alpha,$ где $\alpha$ — угол между направлениями пропускания.
Угол Брюстера: $\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}.$

Показатель преломления $n=n(\lambda)$ (обычно $dn/d\lambda<0$ в видимом).
Фазовая скорость: $v_p=\frac{\omega}{k}=\frac{c}{n}.$
Групповая скорость (передача огибающей/энергии): $v_g=\frac{d\omega}{dk}=\frac{c}{n_g},\qquad n_g=n-\lambda\frac{dn}{d\lambda}.$
В аномальной дисперсии возможны $v_g>c$ формально, но скорость передачи информации не превосходит $c$ .

В вакууме: $c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\ \ \text{(связь Максвелла)}.$
В среде (недиспергирующая аппроксимация): $v=\frac{c}{n}.$
Частота на границе сред постоянна ( $f=\text{const}$ ), изменяются $v$ и $\lambda$ : $\lambda_2=\lambda_1\frac{v_2}{v_1}=\lambda_1\frac{n_1}{n_2}.$

Временная когерентность (ширина линии $\Delta f$ ): $\tau_c\sim\frac{1}{\Delta f},\qquad \ell_c\sim v_g\tau_c.$
Пространственная когерентность: увеличивается при уменьшении угловых размеров источника (апертурная фильтрация).

Мгновенный вектор Пойнтинга: $\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}.$
Усреднённая по времени интенсивность (для гармоники): $\langle S\rangle=\frac{1}{2}\,c\,\varepsilon_0\,E_0^2\ \ \text{в вакууме}.$

Независимость $c$ от движения источника/наблюдателя (специальная теория относительности).
Исторически: оценки О. Рёмера (периоды Ио), земные измерения Физо, Фуко, точные измерения Майкельсона.

$\mathbf{k}=\frac{2\pi}{\lambda}\hat{\mathbf{s}},\ \ \omega=2\pi f,\ \ v_p=\frac{\omega}{k}=\frac{c}{n}$

$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta,\ \ I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta,\ \ y_m\approx m\frac{\lambda L}{d}$

$I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2,\ \ \alpha=\frac{\pi a}{\lambda}\sin\theta,\ \ d\sin\theta_m=m\lambda$

$I=I_0\cos^2\alpha,\ \ \tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}$

$v_g=\frac{d\omega}{dk}=\frac{c}{n_g},\ \ n_g=n-\lambda\frac{dn}{d\lambda}$

$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}},\ \ v=\frac{c}{n},\ \ \lambda_2=\lambda_1\frac{n_1}{n_2}$

$\tau_c\sim\frac{1}{\Delta f},\ \ \ell_c\sim v_g\tau_c,\ \ \langle S\rangle=\tfrac12 c\varepsilon_0 E_0^2$

Волновая оптика