Линзы

Линзы и основные понятия

• Тонкая линза — преломляющая система малой толщины по сравнению с радиусами кривизны поверхностей.
• Типы: собирающая (двояковыпуклая/плосковыпуклая, $f>0$ ) и рассеивающая (двояковогнутая/плосковогнутая, $f<0$ ).
• Главная оптическая ось, главные фокусы $F$ и $F'$ (для тонкой линзы $|F|=|F'|=f$ ), фокальное расстояние $f$ : $P=\frac{1}{f}\quad(\text{диоптрии, если }f\text{ в метрах}).$

Формулы тонкой линзы (воздух с обеих сторон)

• Формула Гаусса (тонкая линза): $\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}.$ Здесь $s$ — расстояние от предмета до оптического центра, $s'$ — расстояние от изображения.
• Поперечное увеличение: $m=\frac{y'}{y}=-\,\frac{s'}{s}.$ Знак «–» для действительного изображения означает переворот.

Знаки (картизианская договорённость)

• Лучи идут слева направо; $s>0$ — предмет слева от линзы (действительный); $s'<0$ — изображение виртуальное (слева).
• $f>0$ — собирающая; $f<0$ — рассеивающая.
• $m>0$ — изображение прямое; $m<0$ — перевёрнутое.

Ньютоновская форма

• Пусть $x$ — расстояние от предмета до фокальной плоскости со стороны предмета, $x'$ — от изображения до фокальной плоскости со стороны изображения: $x\,x'=f^2.$

Линзмейкер (для тонкой линзы в воздухе)

• При показателе материала $n$ и радиусах кривизны поверхностей $R_1,\ R_2$: $\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right).$

Построение изображения (лучевые правила)

• Параллельный главной оси луч после линзы проходит через фокус $F'$ (собирающая) или как бы выходит из $F'$ (рассеивающая).
• Луч, проходящий через оптический центр, не отклоняется (в приближении тонкой линзы).
• Луч, проходящий через фокус $F$ (к линзе), после линзы идёт параллельно главной оси.
• Пересечение построенных лучей даёт положение изображения (действительное — пересечение реальных лучей; виртуальное — их продолжений).

Комбинации линз и апертура

• Линзы в контакте: мощности складываются $P_{\text{eq}}=P_1+P_2$ (для тонких).
• Относительное отверстие: $N=f/D$ (диафрагма $D$); влияет на яркость и глубину резкости (геометрически).

Модель глаза и коррекция

• Глаз — оптическая система, формирующая действительное, перевёрнутое изображение на сетчатке (плоскость фокуса). Эффективное фокусное расстояние порядка нескольких сантиметров; аккомодация меняет эквивалентную оптическую мощность хрусталика.
• Дальняя точка: максимально удалённая точка, изображение которой без аккомодации попадает на сетчатку (в норме — бесконечность).
• Ближняя точка: минимальная дистанция чёткого видения (в норме $\approx 25\,\text{cm}$ для стандартного глаза).

Аметропии и очки

• Близорукость (миопия): дальняя точка на конечном расстоянии $R$ ; для чёткого видения вдаль нужна рассеивающая линза с $P\approx -\,\frac{1}{R}.$
• Дальнозоркость (гиперметропия): ближняя точка дальше нормы; нужна собирающая линза, подбираемая так, чтобы создать виртуальное изображение читаемого объекта (например на $25\,\text{cm}$ ) на фактической ближней точке.
• Пресбиопия: возрастное снижение аккомодации ⇒ положительные «очками для чтения».
• Астигматизм: разная фокусировка по меридианам ⇒ цилиндрические/торические линзы.

Примечание: в точном подборе учитывают вертексное расстояние (между линзой и глазом) и реальные параметры глаза.

Оптические приборы (геометрическая оптика)

Лупа (увеличительное стекло)

• Дает виртуальное, прямое увеличенное изображение. Угловое увеличение (для расслабленного глаза, изображение «на бесконечности»): $M_{\infty}\approx \frac{D_0}{f},\qquad D_0\approx 25\,\text{cm}.$
• Если изображение у ближней точки $D_0$: $M_{D_0}\approx 1+\frac{D_0}{f}.$

Микроскоп (сложная система)

• Объектив формирует действительное перевёрнутое промежуточное изображение; окуляр работает как лупа.
• Приближённое общее увеличение: $M\approx \left(\frac{L}{f_{\text{obj}}}\right)\left(\frac{D_0}{f_{\text{eye}}}\right),$ где $L$ — тубусная длина, $f_{\text{obj}}$ — фокус объектива, $f_{\text{eye}}$ — окуляра.

Зрительная труба (телескоп)

• Афокальная система: пара фокусов объектив–окуляр совмещены; итоговый пучок на выходе параллелен (наблюдение «на бесконечность»).
• Угловое увеличение (астрономическая труба, оба $f>0$): $M=\frac{f_{\text{obj}}}{f_{\text{eye}}}.$ В галилеевской трубе $f_{\text{eye}}<0$ (окуляр рассеивающий), изображение прямое.

Фотоаппарат / кино- и видеокамера

• Линза строит действительное изображение на матрице/плёнке; фокусировка — изменением $s'$ (либо эффективного $f$ во «зум»-объективах).
• Экспозиция зависит от $N=f/D$, выдержки и чувствительности.

Проектор

• Строит действительное увеличенное изображение на экране ($s>f$, $s'>f$, $|m|>1$).

Типичные случаи для тонких линз

Собирающая линза ($f>0$)

• $s>f$ ⇒ $s'>0$, изображение действительное, перевёрнутое.
• $0<s<f$ ⇒ $s'<0$, изображение виртуальное, прямое, увеличенное.

Рассеивающая линза ($f<0$)

• Для любого действительного предмета слева: $s'>0$ не получается; всегда $s'<0$, изображение виртуальное, прямое, уменьшенное.

Ключевые формулы (сводка)

$\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'},\qquad m=-\,\frac{s'}{s},\qquad x\,x'=f^2$

$\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right),\qquad P=\frac{1}{f}$

$M_{\infty}\approx \frac{D_0}{f},\qquad M_{D_0}\approx 1+\frac{D_0}{f},\qquad$ $M_{\text{mic}}\approx \frac{L}{f_{\text{obj}}}\cdot\frac{D_0}{f_{\text{eye}}},\qquad$ $M_{\text{tel}}=\frac{f_{\text{obj}}}{f_{\text{eye}}}$

$P_{\text{eq}}=P_1+P_2\quad(\text{тонкие линзы в контакте})$

$P_{\text{corr}}\approx -\,\frac{1}{R}\quad(\text{миопия, }R\text{ — дальняя точка в метрах})$