Закон преломления света

Закон преломления. Плоскопараллельная пластина. Призма

Закон преломления (Снеллиуса)

• Два изотропных прозрачных слоя с показателями преломления $n_1$ и $n_2$.
• Углы падения и преломления, отсчитанные от нормали: $\theta_1$ и $\theta_2$.
• Закон Снеллиуса: $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.$
• Связанные изменения: $v=\frac{c}{n},\qquad f=\text{const},\qquad \lambda=\frac{v}{f}=\frac{c}{n f},\qquad \lambda_2=\lambda_1\frac{n_1}{n_2}.$

Полное внутреннее отражение (ПВО)

• Возможно при переходе из оптически более плотной среды в менее плотную: $n_1>n_2$.
• Критический угол: $\theta_c=\arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right)\quad(\text{для }n_1>n_2).$
• Если $\theta_1>\theta_c$, преломлённого луча нет (возникает эванесцентное поле), наблюдается полное отражение.

Плоскопараллельная пластина (толщина $t$, показатель $n$, внешняя среда $n_0$)

• На границе 1: $n_0\sin\theta_0=n\sin\theta$ (внутренний угол $\theta$).
• На границе 2: $n\sin\theta=n_0\sin\theta_0'$.
• При однородных внешних средах слева и справа ($n_0$ одинаков): выходной луч параллелен входному, т.е. $\theta_0'=\theta_0.$
• Боковой сдвиг луча (параллельный перенос), если вход под углом $\theta_0$: $\ell=t\,\frac{\sin(\theta_0-\theta)}{\cos\theta},\qquad \text{где }\ \theta=\arcsin\!\left(\frac{n_0}{n}\sin\theta_0\right).$
• Оптическая задержка (по времени) относительно пути в внешней среде: $\Delta t=\frac{1}{c}\left(\frac{n\,t}{\cos\theta}-\frac{n_0\,t}{\cos\theta_0}\right).$

Призма (апекс $A$, показатель $n$, внешняя среда $n_0$)

Пусть луч падает на грань 1 под углом $i_1$, внутри преломляется под $r_1$, на грани 2 выходит под $i_2$, внутри к нормали — $r_2$.

• Связи углов в призме: $r_1+r_2=A.$
• Суммарное отклонение (девиация) луча: $\delta=i_1+i_2-A.$
• Закон Снеллиуса на гранях: $n_0\sin i_1=n\sin r_1,\qquad n\sin r_2=n_0\sin i_2.$

Минимальная девиация (симметричный ход)

При $\delta=\delta_{\min}$ выполняется $i_1=i_2$ и $r_1=r_2=A/2$. Тогда:

• Индекс через $\delta_{\min}$ и $A$ (обычно $n_0\approx1$): $n=\frac{\sin\!\big(\tfrac{A+\delta_{\min}}{2}\big)}{\sin\!\big(\tfrac{A}{2}\big)}\quad(\text{если }n_0=1).$ В общем случае: $\frac{n}{n_0}=\frac{\sin\!\big(\tfrac{A+\delta_{\min}}{2}\big)}{\sin\!\big(\tfrac{A}{2}\big)}.$

Тонкая призма (малые углы, в воздухе)

Если $A\ll1$ (в радианах) и углы малы:

• Приближённая девиация: $\delta\approx (n-1)\,A.$

Дисперсия призмой

Поскольку $n=n(\lambda)$ и при нормальной дисперсии $dn/d\lambda<0$:

• Короткие волны ($\lambda$ меньше) — сильнее преломляются, девиация больше.
• Для тонкой призмы: $\frac{d\delta}{d\lambda}\approx A\,\frac{dn}{d\lambda}.$

Условие ПВО внутри призмы

На выходной грани возможно ПВО, если $r_2>\theta_c$ для пары сред $(n\to n_0)$: $\theta_c=\arcsin\!\left(\frac{n_0}{n}\right),\qquad r_2=\!A-r_1.$

Геометрические замечания

• В пластине луч смещается, но остаётся параллельным исходному — изображение не искажается, лишь сдвигается.
• В призме луч поворачивается на угол $\delta$ в плоскости сечения, и величина поворота зависит от $n(\lambda)$ → спектральное разложение.

Ключевые формулы (сводка)

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2,\qquad v=\frac{c}{n},\qquad \lambda_2=\lambda_1\frac{n_1}{n_2}$

$\theta_c=\arcsin\!\left(\frac{n_2}{n_1}\right)\ \ (n_1>n_2)$

$\ell=t\,\frac{\sin(\theta_0-\theta)}{\cos\theta},\qquad \Delta t=\frac{1}{c}\!\left(\frac{n\,t}{\cos\theta}-\frac{n_0\,t}{\cos\theta_0}\right)$

$r_1+r_2=A,\qquad \delta=i_1+i_2-A,\qquad n_0\sin i_1=n\sin r_1,\ \ n\sin r_2=n_0\sin i_2$

$n=\frac{\sin\!\big(\tfrac{A+\delta_{\min}}{2}\big)}{\sin\!\big(\tfrac{A}{2}\big)}\ \ (n_0=1),\qquad \delta\approx (n-1)A\ \ (\text{тонкая призма})$

$\frac{d\delta}{d\lambda}\approx A\,\frac{dn}{d\lambda},\qquad \theta_c=\arcsin\!\left(\frac{n_0}{n}\right)$